「四面体」について

　国立 三重大学 2013年 第5問

正四面体ABCDを考える．点Pは，時刻0では頂点Aにあり，1秒ごとに，今いる頂点から他の3頂点のいずれかに動くとする．nを正の整数として，Aから出発してn秒後にAに戻る経路の数をαn，Aから出発してn秒後にBに到達する経路の数をβnとする．このとき，Aから出発してn秒後にCに到達する経路の数も，Dに到達する経路の数もβnとなる．このことに注意して，以下の問いに答えよ．ただしα0=1，β0=0とする．
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　国立 三重大学 2013年 第3問

正四面体ABCDを考える．点Pは，時刻0では頂点Aにあり，1秒ごとに，今いる頂点から他の3頂点のいずれかに，等しい確率で動くとする．nを0以上の整数とし，点Pがn秒後にA，B，C，Dにある確率を，それぞれpn,qn,rn,snとする．このとき以下の問いに答えよ．
(1)n≧1に対しqn=rn=snとなることを数学的帰納法で証明せよ．
(2)n≧1に対しpn,qnをp_{n-1},q_{n-1}で表せ．ただし，p0=1,q0=0とする．・・・

　国立 三重大学 2013年 第3問

正四面体ABCDを考える．点Pは，時刻0では頂点Aにあり，1秒ごとに，今いる頂点から他の3頂点のいずれかに，等しい確率で動くとする．nを0以上の整数とし，点Pがn秒後にAにある確率をpn，Bにある確率をqnとする．このとき，n秒後にCにある確率も，Dにある確率もqnとなる．このことに注意して，以下の問いに答えよ．ただし，p0=1,q0=0とする．
(1)n≧1に対しpn,qnをp_{n-1},q_{n-1}で表せ．
(2)cn=pn-q_・・・

　国立 群馬大学 2013年 第13問

空間内に4点A(2,0,2)，B(6,0,0)，C(4,2,2)，D(5,1,7)がある．
(1)3点A，B，Cを含む平面をαとし，点Dからαに下ろした垂線とαの交点をHとする．点Eを，Hが線分DEの中点となるようにとるとき，Eの座標を求めよ．
(2)0＜t＜1とする．線分ABをt:1-tに内分する点をP，線分BCをt2:1-t2に内分する点をQ，線分CDの中点を\ten・・・

　国立 福井大学 2013年 第2問

四面体OABCの各辺の長さをそれぞれAB=√7，BC=3，CA=√5，OA=2，OB=√3，OC=√7とする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルb，ベクトルb・ベクトルc，ベクトルc・ベクトルaを求めよ．
(2)三角形OABを含む平面をαとし，点Cから平面αに下ろした垂線とαとの交点を\ten{H・・・

　国立 福井大学 2013年 第1問

四面体OABCの各辺の長さをOA=2，OB=√5，OC=√7，AB=√3，BC=2，CA=√5とする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルb，ベクトルb・ベクトルc，ベクトルc・ベクトルaを求めよ．
(2)三角形OABを含む平面をαとし，点Cから平面αに下ろした垂線とαとの交点をHとする・・・

　国立 福井大学 2013年 第2問

OA=OB=OC=1かつAB=BC=CAをみたす四面体OABCがある．その体積をV，AB=mとおき，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcと表すとき，以下の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルb，ベクトルb・ベクトルc，ベクトルc・ベクトルaをmを用いて表せ．
(2)△ABCの重心をGとおくとき，内積ベクトルOG・ベクトルAG，ベクトルOG・ベクトルBG，ベクトルOG・・・・

　国立 愛媛大学 2013年 第4問

原点をOとする座標空間内に3点A，B，Cがあり，次の条件①,②,③,④を満たすとする．
①Aはxy平面上の点でOA=1
②B，Cはyz平面上の点で，y軸に関して対称である
③△OABは正三角形である
④A，B，Cはy軸上にない

(1)Bのy座標をtとす・・・

　国立 長崎大学 2013年 第4問

右図のような四面体OABCがある．各面ABC，OBC，OCA，OABの\\
重心を，それぞれP，Q，R，Sとし，辺BCの中点をMとする．また，\\
ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルc，ベクトルOM=ベクトルmとおく．次の問いに答えよ．
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(1)ベクトルOQをベクトルmを用いて表せ．また，ベクトルOPをベクトルaとベクトルmを用いて表せ．
(2)線分OPと線分\t・・・

　国立 東京海洋大学 2013年 第5問

座標空間における5点O(0,0,0)，A(3,0,0)，B(1,√2,1)，C(\frac{√3}{2},\frac{√6}{6},\frac{√3}{6})，R(0,-1,√2)について次の問に答えよ．
(1)∠AOC，∠BOC，∠AOR，∠BORを求めよ．
(2)4点O，A，B，Cは同一平面上にあることを示せ．
(3)2点P，Qは正の実数s,tについて\vect{O・・・