「回転」について
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(1ページ目:全314問中1問~10問を表示)aを正の実数とし,pを正の有理数とする.座標平面上の2つの曲線y=axp(x>0)とy=logx(x>0)を考える.この2つの曲線の共有点が1点のみであるとし,その共有点をQとする.以下の問いに答えよ.必要であれば,\lim_{x→∞}\frac{xp}{logx}=∞を証明なしに用いてよい.
(1)aおよび点Qのx座標をpを用いて表せ.
(2)この2つの曲線とx軸で囲まれる図形を,x軸のまわりに1回転してできる立体の体積をpを用いて表せ.
(3)(2)で得ら・・・

座標平面上の点P(1,1)を中心とし,原点Oを通る円をC1とする.kを正の定数として,曲線y=k/x(x>0)をC2とする.C1とC2は2点で交わるとし,その交点をQ,Rとするとき,直線PQはx軸に平行であるとする.点Qのx座標をqとし,点Rのx座標をrとする.次の問いに答えよ.
(1)k,q,rの値を求めよ.
(2)曲線C2と線分OQ,ORで囲まれた部分の面積Sを求めよ.
(3)x=1+√2sin\・・・

2つの関数y=sin(x+π/8)とy=sin2xのグラフの0≦x≦π/2の部分で囲まれる領域を,x軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ.

関数f(x)=xexについて,次の問いに答えよ.
(1)関数y=f(x)について,増減および凹凸を調べ,そのグラフをかけ.ただし,必要ならば\lim_{x→-∞}xex=0を用いてもよい.
(2)不定積分∫xexdx,∫x2e^{2x}dxをそれぞれ求めよ.
(3)0≦t≦1に対しg(x)=f(x)-f(t)とおく.0≦x≦1の範囲で,曲線y=g(x)とx軸ではさまれる部分を,x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をV(t)とする.V(t)を求めよ.
・・・

次の\tocichi,\tocniに答えよ.
\mon[\tocichi]次の5つの定積分を求めよ.(\tocni(4)で用いる.)
I1=∫0^πxsinxdx,I2=∫0^πx2cosxdx,I3=∫0^πsin2xdx
I4=∫0^πxcosxsinxdx,I5=∫0^πsin2xcosxdx
\mon[\tocni]関数y=sinxのグラフを曲線Cとする.C上の点O(0,0)における接線をℓ1・・・

四面体ABCDは
(i)BA=\sqrt{66},BC=7,BD=\sqrt{65}
(ii)ベクトルBA・ベクトルBC=28,ベクトルBC・ベクトルBD=35,ベクトルBD・ベクトルBA=40
を満たす.頂点Aから平面BCDに下ろした垂線をAHとする.
(1)辺ACの長さを求めよ.
(2)ベクトルBHをベクトルBC,ベクトルBDを用いて表せ.
(3)線分CHの長さを求めよ.
(4)面ABCを直線\ten{A・・・

a>0とする.曲線y=e^{-x2}とx軸,y軸,および直線x=aで囲まれた図形を,y軸のまわりに1回転してできる回転体をAとする.
(1)Aの体積Vを求めよ.
(2)点(t,0)(-a≦t≦a)を通りx軸と垂直な平面によるAの切り口の面積をS(t)とするとき,不等式
S(t)≦∫_{-a}ae^{-(s2+t2)}ds
を示せ.
(3)不等式
\sqrt{π(1-e^{-a2})}≦∫_{-a}ae^{-x2}dx
を示せ.

放物線y=ax2(a>0)をy軸のまわりに1回転させてできる容器Aと,容積VのコップBがある.このとき,次の問に答えよ.
(1)空の容器AにコップB1杯分の水を注いだら,水深が1となった.このとき,aをVを用いて表せ.ただし,回転軸は水面と垂直であるとする.
(2)あとコップB何杯分の水を容器Aに注いだら,水深が2となるか.

(新課程履修者)複素数平面上に原点O(0)と点A(1+√3i)がある.ただし,iを虚数単位とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)複素数1+√3iを極形式で表せ.ただし,偏角θは0≦θ<2πとする.
(2)点Aを原点のまわりに-π/3だけ回転した点を表す複素数を求めよ.
(3)虚軸上の点B(z)がOB=ABを満たすとき,複素数zを求めよ.
(4)(3)で求めたB(z)に対して,3点O,A,Bを・・・

放物線y=ax2(a>0)をy軸のまわりに1回転させてできる容器Aと,容積VのコップBがある.このとき,次の問に答えよ.
(1)空の容器AにコップB1杯分の水を注いだら,水深が1となった.このとき,aをVを用いて表せ.ただし,回転軸は水面と垂直であるとする.
(2)あとコップB何杯分の水を容器Aに注いだら,水深が2となるか.