「回転体の体積」について

　私立 東京都市大学 2013年 第2問

次の問に答えよ．
(1)f(x)=1+x+\frac{x2}{2!}+\frac{x3}{3!}+・・・+\frac{x^{100}}{100!}とおく．f´(x)をf(x)の導関数とするとき，99!(f(1)-f´(1))を求めよ．
(2)放物線y=2-x2とx軸で囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．
(3)定積分∫0^{√3}(x+x3)\sqrt{1+x2}dxの値を求めよ．

　私立 同志社大学 2013年 第3問

定数a(a＞1)に対して曲線y=ax，x軸およびy軸，直線x=1で囲まれた図形をSとし，曲線y=a^{2x}，曲線y=axおよび直線x=1で囲まれた図形をDとする．次の問いに答えよ．
(1)Sをx軸のまわりに回転させてできる回転体の体積V(a)を求めよ．
(2)Dをx軸のまわりに回転させてできる回転体の体積W(a)を求めよ．
(3)V(a)=W(a)となるaの値を求めよ．
(4)極限値\lim_{a→1+0}\frac{W(a)}{a-1}を求めよ．

　私立 産業医科大学 2013年 第1問

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．
(1)100円，50円，10円の硬貨がそれぞれたくさんあるとする．ある品物を買うのに2300円かかるとき，このお金による支払い方の総数は[]である．
(2)整式P(x)をx2-4x+3で割ったときの余りはx+1であり，x2-3x+2で割ったときの余りは3x-1である．P(x)をx3-6x2+11x-6で割ったときの余りは[]である．
(3)数列の極限\lim_{n→∞}\frac{Σ_{k=1}^{2n}(k+n)2}{Σ_{k=1}^{2n}k2}の値は\kakko・・・

　私立 青山学院大学 2013年 第3問

AB=AC=1，∠BAC=π/2を満たす直角二等辺三角形ABCについて，辺AC上に点Dをとり，辺ABと平行で点Dを通る直線をℓとする．AD=tとし，0＜t≦1/2のとき，三角形ABCを直線ℓのまわりに1回転させてできる回転体の体積をV(t)とする．
(1)V(t)をtを用いて表せ．
(2)tが0＜t≦1/2の範囲を動くとき，V(t)の最小値を求めよ．

　私立 早稲田大学 2013年 第4問

直線x+y=1に接する楕円
\frac{x2}{a2}+\frac{y2}{b2}=1(a＞0,b＞0)
をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をVとする．
a2=\frac{[ヌ]}{[ニ]},b2=\frac{[ネ]}{[ニ]}のとき，Vは最大値\frac{[ハ]√3π}{[ノ]}をとる．

　私立 中京大学 2013年 第2問

媒介変数表示{\begin{array}{l}
x=θ-sinθ\
y=cosθ
\end{array}.(0＜θ＜2π)で表される曲線Cについて，次の各問に答えよ．
(1)曲線Cの導関数dy/dxをθの関数で表せ．
(2)曲線Cとx軸で囲まれる部分をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を求めよ．

　公立 愛知県立大学 2013年 第3問

aをa＞2を満たす実数とし，
f(t)=\frac{sin2at+t2}{atsinat},g(t)=\frac{sin2at-t2}{atsinat}(0＜|t|＜π/2a)
とする．また，Cを曲線x2-y2=\frac{4}{a2}(x≧2/a)とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点(f(t),g(t))は，曲線C上の点であることを示せ．
(2)点(\lim_{t→0}f(t),\lim_{t→0}g(t))における曲線Cの法線の方程式を求めよ．
(3)曲線C・・・

　公立 福岡女子大学 2013年 第3問

以下の問いに答えなさい．
(1)logxの不定積分，および(logx)2の不定積分を求めなさい．
(2)曲線y=logx上の点(e2,2)における接線ℓの方程式を求めなさい．
(3)曲線y=logxと(2)で求めた接線ℓ，およびx軸で囲まれた図形をSとする．Sをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めなさい．

　公立 札幌医科大学 2013年 第1問

座標平面上の点A(1,0)と曲線C:y=x√xを考える（ただしx≧0とする）．曲線C上の点のうち，点Aまでの距離が最小となるような点をPとし，点Pにおける曲線Cの接線とx軸との交点をQとする．
(1)点Pのx座標を求めよ．
(2)点Qのx座標を求めよ．
(3)曲線Cとx軸および線分PQで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転させた回転体の体積をV1とする．また，曲線Cとx軸および線分APで囲まれた図形をx軸のまわりに・・・

　国立 横浜国立大学 2012年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)不定積分
∫x2cos(alogx)dx
を求めよ．ただし，aは0でない定数とする．
(2)曲線y=xcos(logx)とx軸，および2直線x=1,x=e^{π/4}で囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．