「回転体の体積」について

　国立 徳島大学 2012年 第3問

f(x)=√xe^{-x}(0≦x≦1)とする．
(1)関数f(x)の最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線y=f(x)とx軸および直線x=1で囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

　国立 徳島大学 2012年 第2問

f(x)=√xe^{-x}(0≦x≦1)とする．
(1)関数f(x)の最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線y=f(x)とx軸および直線x=1で囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

　国立 小樽商科大学 2012年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)\frac{x2}{4}+y2=1(y≧0)とx軸で囲まれる部分の面積を積分法を用いて求めよ．
(2)(1)のグラフをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を積分法を用いて求めよ．

　国立 東京農工大学 2012年 第3問

区間1≦x≦4で定められた関数f(x)=\sqrt{4x-x2},g(x)=\sqrt{xlog4/x}について，次の問いに答えよ．ただし対数は自然対数とする．
(1)曲線y=f(x)とx軸および直線x=1で囲まれた部分を，x軸の周りに1回転させてできる回転体の体積Vを求めよ．
(2)区間1≦x≦4において{f(x)}2-{g(x)}2≧0が成り立つことを示せ．
(3)2つの曲線y=f(x),y=g(x)と直線x=1で囲まれた部分をDとおく．Dをx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積Wを・・・

　国立 愛媛大学 2012年 第1問

図のような1辺の長さを1とする立方体ABCD-EFGHを考える．\\
線分AHと線分EDの交点をKとする．さらに，辺CGを3:1\\
に内分する点をLとし，辺EFをp:1-pに内分する点をMと\\
する．ただし，0＜p＜1である．また，ベクトルa=ベクトルEF，ベクトルb=ベクトルEH，\\
ベクトルc=ベクトルEAとおく．
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(1)ベクトルKLおよびベクトルKMをそれぞれベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ．
(2)・・・

　私立 立教大学 2012年 第2問

関数y=1/xのグラフのx＞0の部分を曲線Cとする．実数tは0＜t＜1をみたすものとし，C上に点P(t,1/t)をとる．このとき，次の問(1)～(5)に答えよ．
(1)曲線C上の点A(1,1)における接線ℓの方程式を求めよ．
(2)点Pを通り直線ℓと平行な直線をmとし，直線mと曲線Cの共有点で点Pと異なる点をQとする．点Qの座標を求めよ．
(3)原点をOとし，2つの線分OP，OQおよび・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第2問

自然数nに対して，3次曲線Cn:y=x(x-n)(x-n-1)を考え，原点Oを通るCnの接線で，接点が原点以外のものをℓnとする．また，Cnの原点における接線とCnで囲まれる部分の面積をSnとし，ℓnとCnで囲まれる部分の面積をTnとする．次の問いに答えよ．
(1)ℓnの方程式を求めよ．
(2)Sn,Tnを求め，さらに，\frac{Tn}{Sn}を求めよ．
(3)ℓ1と平行なC1の接線で，ℓ1と異なるものをℓ´とする．ℓ´の方程式を求めよ．
\mon・・・

　私立 北海学園大学 2012年 第4問

曲線C:y=√x上の点P(a,√a)における接線をℓとする．曲線C，直線x=a，およびx軸で囲まれた図形の面積が18であるとき，次の問いに答えよ．ただし，aは定数とし，a＞0である．
(1)aの値を求めよ．
(2)接線ℓの方程式を求めよ．
(3)接線ℓ，曲線C，およびx軸で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ．

　私立 青山学院大学 2012年 第5問

曲線\frac{(x-5)2}{4}+\frac{y2}{9}=1をCとする．
(1)曲線Cの概形を描け．
(2)曲線Cで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積V1を求めよ．
(3)曲線Cで囲まれた図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積V2を求めよ．

　私立 大阪工業大学 2012年 第4問

関数f(x)=x\sqrt{1-x}(0≦x≦1)について，次の問いに答えよ．
(1)f(x)を微分せよ．
(2)f(x)の最大値を求めよ．
(3)曲線y=f(x)とx軸で囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ．