「回転体の体積」について

　公立 大阪府立大学 2012年 第2問

kとaを正の定数とする．曲線C:y=\frac{x}{x+k}(x≧0)と直線x=aおよびx軸で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をV1とする．また，曲線Cと直線y=\frac{a}{a+k}およびy軸で囲まれた図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をV2とする．このとき，比\frac{V2}{V1}を求めよ．

　国立 東京工業大学 2011年 第4問

平面上に一辺の長さが1の正方形DおよびDと交わる直線がある．この直線を軸にDを回転して得られる回転体について以下の問に答えよ．
(1)Dと同じ平面上の直線ℓはDのどの辺にも平行でないものとする．軸とする直線はℓと平行なものの中で考えるとき，回転体の体積を最大にする直線はDと唯1点で交わることを示せ．
(2)Dと交わる直線を軸としてできるすべての回転体の体積の中で最大となる値を求めよ．

　国立 宇都宮大学 2011年 第6問

曲線C1は媒介変数tを用いて
x=t-sint,y=1-cost(0≦t≦2π)
と表されるとする．また，曲線C2は
x=t-sint,y=1+cost(0≦t≦2π)
と表されるとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)C1とC2は直線y=1に関して対称であることを示せ．
(2)C1とC2の交点の座標を求めよ．
(3)C1とC2で囲まれた部分をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

　国立 茨城大学 2011年 第1問

f(x)=e^{-x2}(x≧0)とする．以下の各問に答えよ．
(1)x≧0に対して，不等式ex＞xおよびex＞\frac{x2}{2}が成り立つことを示せ．
(2)\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}=0および\lim_{t→+0}tlog1/t=0を示せ．
(3)f(x)は減少関数であることを示せ．また，y=f(x)の逆関数x=g(y)を求めよ．
(4)aを0＜a＜1を満たす実数とする．y軸，y＝f(x)のグラフおよび直線y=aで囲まれた図形をy軸のまわりに1回転して・・・

　国立 山形大学 2011年 第2問

媒介変数tを用いてx=t2,y=t3と表される曲線をCとする．ただし，tは実数全体を動くとする．また，実数a(a≠0)に対して，点(a2,a3)におけるCの接線をℓaとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)ℓaの方程式を求めよ．
(2)曲線Cの0≦t≦1に対応する部分の長さを求めよ．ただし，曲線x=f(t),y=g(t)のα≦t≦βに対応する部分の長さは∫_{α}^{β}\sqrt{(dx/dt)2+(dy/dt)2・・・

　国立 山形大学 2011年 第4問

媒介変数tを用いてx=t2,y=t3と表される曲線をCとする．ただし，tは実数全体を動くとする．また，実数a(a≠0)に対して，点(a2,a3)におけるCの接線をℓaとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)ℓaの方程式を求めよ．
(2)曲線Cの0≦t≦1に対応する部分の長さを求めよ．ただし，曲線x=f(t),y=g(t)のα≦t≦βに対応する部分の長さは∫_{α}^{β}\sqrt{(dx/dt)2+(dy/dt)2・・・

　国立 小樽商科大学 2011年 第5問

a＞5とする．円C:x2+(y-a)2=25をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積は，円Cをy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積の5倍に一致している．このとき，aの値を求めよ．

　国立 長崎大学 2011年 第6問

次の問いに答えよ．
(1)-π/2≦x≦π/2において次の不等式を解け．
sinx+cos2x≧0
(2)-π/2≦x≦π/2において，曲線y=sinxと曲線y=-cos2xおよび直線x=-π/2が囲む図形の面積Sを求めよ．
(3)上の図形の0≦x≦π/2の部分をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ．

　国立 東京海洋大学 2011年 第5問

0≦x≦π/2において，曲線y=cosxとx軸およびy軸で囲まれた図形をDとする．
(1)Dをx軸のまわりに1回転して得られる回転体の体積V1を求めよ．
(2)不定積分∫xcosxdxと∫x2sinxdxを求めよ．
(3)Dをy軸のまわりに1回転して得られる回転体の体積V2を求めよ．

　私立 早稲田大学 2011年 第1問

次の[]にあてはまる数または数式を解答用紙の所定欄に記入せよ．
(1)平面上の3点A，B，Cが点Oを中心とする半径1の円周上にあり，
3ベクトルOA+7ベクトルOB+5ベクトルOC=ベクトル0
を満たしている．このとき線分ABの長さは[ア]である．
(2)xy平面上の曲線y=exとy軸および直線y=eで囲まれた図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積は[イ]である．
(3)碁石をn個一列に並べる並べ方のうち，黒石が先頭で白石どうしは隣り合わ・・・