「回転体の体積」について

　私立 北海学園大学 2011年 第4問

点Pを直線ℓ1:y=x上の点とし，2点A，Bの座標をそれぞれ(-1,0)，(0,1)とする．Pを通りℓ1に直交する直線をℓ2とする．また，ℓ2と2点A，Bを通る直線との交点をQとする．Pのx座標をaとするとき，次の問いに答えよ．ただし，0＜a＜1/2とする．
(1)ℓ2の方程式をaを用いて表せ．
(2)Qの座標をaを用いて表せ．
(3)Qからx軸に下ろした垂線とx軸との交点をR・・・

　私立 明治大学 2011年 第4問

次の空欄[ア]から[ス]に当てはまるものを入れよ．ただし連続した空欄[シス]は2桁の数字をあらわす．
aを正の定数とする．2点A(0,a)，B(t,t2)の間の距離をL(t)とする．L(t)はa≦1/2の場合はt=[ア]で最小値[イ]をとり，a＞1/2の場合は|t|=[ウ]のとき最小値[エ]をとる．
A(0,a)を中心とする半径1の円C1と放物線C2:y=x2が2点で接している・・・

　私立 名城大学 2011年 第4問

曲線y=alogx(a＞0)とx軸および直線x=eで囲まれた部分をDとする．Dをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をV1，Dをy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をV2とする．ただし，eは自然対数の底とする．
(1)Dを図示せよ．
(2)∫1elogxdxを求めよ．
(3)V1とV2を求めよ．
(4)V1=V2となるときのaの値を求めよ．

　私立 学習院大学 2011年 第3問

不等式
x2-x≦y≦x
で表される平面上の領域を直線y=xのまわりに1回転して得られる回転体の体積を求めよ．

　私立 関西大学 2011年 第1問

aを正の定数とする．座標平面上に曲線C1:y=ax2と曲線C2:x=y2がある．次の問いに答えよ．
(1)曲線C1とC2の交点のうち，原点と異なる点の座標を求めよ．
(2)曲線C1とC2で囲まれた図形をDとする．Dをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をV1とする．また，Dをy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をV2とする．V1とV2をそれぞれaを用いて表せ．
(3)(2)で求めたV1とV2について，V1≧V2となるようなaの値の範囲を求めよ．また，V1-V2を・・・

　公立 大阪市立大学 2011年 第1問

aは実数で0＜a＜1とする．座標平面上の第1象限にある曲線y=1/xと2直線y=x,y=axで囲まれる部分P(a)の面積をS(a)とする．次の問いに答えよ．
(1)S(a)をaを用いて表せ．
(2)2S(1/e)≦S(a)≦2S(1/e)+1となるaの範囲を求めよ．
(3)P(a)をx軸の周りに回転して得られる回転体の体積V(a)と\lim_{a→0}V(a)を求めよ．

　公立 会津大学 2011年 第4問

aを正の定数とする．原点をOとし，曲線y=x3上に点P(a,a3)をとり，線分OPと曲線によって囲まれた部分をAとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)Aをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ．
(2)Aをy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Wを求めよ．
(3)直線OPの傾きをmとするとき，mW/Vの値を求めよ．

　国立 京都大学 2010年 第6問

座標空間内で，O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,1)，E(1,0,1)，F(1,1,1)，G(0,0,1)を頂点にもつ立方体を考える．この立方体を対角線OFを軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．

　国立 京都大学 2010年 第5問

座標空間内で，O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,1)，E(1,0,1)，F(1,1,1)，G(0,1,1)を頂点にもつ立方体を考える．
(1)頂点Aから対角線OFに下ろした垂線の長さを求めよ．
(2)この立方体を対角線OFを軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．

　国立 静岡大学 2010年 第4問

連立不等式
x2+y2≦1,x≧0,y≧0
の表す領域をD，原点を通る傾きtanθ(-π/2＜θ＜π/2)の直線をℓとする．Dをℓのまわりに1回転させてできる回転体の体積をVとするとき，次の問いに答えよ．
(1)-π/2＜θ＜0のとき，Vをθを用いて表せ．
(2)-π/2＜θ＜π/2のとき，Vの最大値，最小値を求めよ．