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rを1より大きい実数とする.半径1の円Cの周上に点Qをとる.最初に円Cの中心Pは座標平面の(0,1),点Qは(0,2)にあるものとし,円Cがx軸に接しながらx軸の正の方向にすべることなく転がっていく.角θラジアンだけ回転したとき,半直線PQ上にPR=rとなる点Rをとる.θを0から2πまで動かしたときのRの軌跡を考える.
(1)α,βは0≦α<β≦2πをみたし,θ=αのときのRの・・・
国立 名古屋工業大学 2013年 第2問kを正の定数とする.2つの曲線
C1:y=cosx(0≦x≦π/2),C2:y=ktanx(0≦x<π/2)
について,次の問いに答えよ.
(1)C1とC2の交点におけるそれぞれの曲線の接線をℓ1,ℓ2とする.直線ℓ1,ℓ2がなす角をθ(0≦θ≦π/2)とするとき,θの値を求めよ.
(2)k=3/2のとき,曲線C1,C2とy軸で囲まれる図形を・・・
国立 静岡大学 2013年 第3問関数f(x)=\frac{e^{2x}-e^{-2x}}{e^{2x}+e^{-2x}}に対して,曲線y=f(x)をCとする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)極限値\lim_{x→∞}f(x)と\lim_{x→-∞}f(x),および,f^{\prime\prime}(x)=0を満たすxの値を求めよ.
(2)曲線Cの概形をかけ.
(3)曲線Cについて,傾きが2の接線ℓの方程式を求めよ.
(4)曲線C,(3)で求めた接線ℓ,直線x=log√2によって囲まれた図形Dの面積を求めよ.
(5)(4)の図形Dをx軸・・・
国立 豊橋技術科学大学 2013年 第3問曲線y=1/x(x>0)を曲線Cとする.曲線Cと直線y=mxの交点を点P,曲線Cと直線y=1/2xとの交点を点Qとする.ここで傾きmをm>1/2の実数とする.以下の問いに答えよ.
(1)点Pと点Qの座標をそれぞれ求めよ.
(2)点Qにおける曲線Cの接線Lの方程式を求めよ.
(3)接線Lと直線y=mxの交点の座標を,mを用いて表せ.
(4)原点Oと点P,原点Oと点Qを結ぶ線・・・
国立 富山大学 2013年 第1問関数f(x)=x+2sinxを考える.このとき,次の問いに答えよ.
(1)y=f(x)(0≦x≦2π)の増減を調べ,そのグラフをかけ.
(2)0<x<2πにおいて関数f(x)が極値をとるときのxの値をα,β(0<α<β<2π)とする.曲線y=f(x)のα≦x≦βの部分とx軸,および2直線x=α,x=βで囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ.
国立 富山大学 2013年 第3問直線y=ax(a>0)とx軸,および直線x=1で囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる立体の体積をVとし,曲線y=x+sinx(0≦x≦2π)とx軸,および直線x=2πで囲まれた部分をx軸の周りに1回転させてできる立体の体積をWとする.このとき,次の問いに答えよ.
(1)Vをaを用いて表せ.
(2)0<x≦2πにおいて,x+sinx>0であることを示せ.
(3)Wの値を求めよ.
(4)V=Wのとき,aの値を求めよ.
国立 岩手大学 2013年 第4問実数a>0とk>0に対して2つの曲線
C1:y=ax2,C2:y=klogx(x>0)
を考える.ここで,logxはxの自然対数とする.C1とC2がただ1点を共有し,その点における接線が一致するとき,次の問いに答えよ.
(1)共有点のx座標を求めよ.
(2)kをaを用いて表せ.
(3)k=2eのとき,C1,C2およびx軸で囲まれた部分をDとする.Dの面積Sを求めよ.ただし,eは自然対数の底とする.
(4)(3)のDをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ.
国立 宮城教育大学 2013年 第5問以下の問いに答えよ.
(1)a>0のとき,
S(a)=∫0^{π/2}|sin2x-acosx|dx
とする.S(a)の最小値を求めよ.
(2)a>2のとき,2曲線y=sin2x,y=acosx(0≦x≦π/2)とy軸で囲まれる図形を考える.この図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積をaを用いて表せ.
国立 秋田大学 2013年 第3問関数f(x)=sinx+1/2sin2x(0≦x≦2π)について,次の問いに答えよ.
(1)f(x)の増減を調べ,最大値と最小値を求めよ.
(2)曲線y=f(x)とx軸で囲まれた図形を,x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ.
国立 香川大学 2013年 第4問0<p1<p2,1<r2とする.中心O1(p1,0),半径1の円C1と,中心O2(p2,0),半径r2の円C2は点Tで外接している.また円C1,C2はともに放物線C:x=y2に接している.円C1と放物線Cとの接点で第1象限にあるものをQ1({q1}2,q1),円C2と放物線Cとの接点で第1象限にあるものをQ2({q2}2,q2)とおくとき,次の問に答えよ.
(1)p1,p2,q1,q2,r2を求めよ.
(2)放物線Cと弧\widehat{Q1T}および弧\wideh・・・