「回転」について

　国立 室蘭工業大学 2013年 第2問

2つの曲線
y=cos2x(-π/2≦x≦π/2)　と　y=sin2x(-π/2≦x≦π/2)
を，それぞれC1とC2とする．
(1)C1とC2の2つの交点の座標を求めよ．
(2)C1とC2で囲まれた部分Dの面積を求めよ．
(3)Dをx軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 筑波大学 2013年 第3問

xyz空間において，点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)を通る平面上にあり，正三角形ABCに内接する円板をDとする．円板Dの中心をP，円板Dと辺ABの接点をQとする．
(1)点Pと点Qの座標を求めよ．
(2)円板Dが平面z=tと共有点をもつtの範囲を求めよ．
(3)円板Dと平面z=tの共通部分が線分であるとき，その線分の長さをtを用いて表せ．
(4)円板Dをz軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．
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　国立 茨城大学 2013年 第4問

連立不等式
0≦x≦π/2,-cosx≦y≦sin2x
の表す領域をDとする．以下の各問に答えよ．
(1)領域Dを図示せよ．
(2)領域Dの面積を求めよ．
(3)領域Dをx軸のまわりに1回転したときにできる立体の体積を求めよ．

　国立 九州工業大学 2013年 第4問

曲線C1:\frac{x2}{4}+y2=1(x≧0)と曲線C2:x2+y2=1(x≧0)がある．曲線C1の点P(√s,√t)(s＞0,t＞0)における法線をℓとする．次に答えよ．
(1)sをtを用いて表せ．また，直線ℓの方程式をtを用いて表せ．
(2)直線ℓが曲線C2に接するときの点Pの座標および接点Qの座標を求めよ．
(3)P，Qは(2)で求めた点とし，点(0,1)をRとする．曲線C1，弧RQおよび線分PQで囲ま・・・

　国立 東京農工大学 2013年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)f(x)=log(x+\sqrt{x2+1})とする．ただし，対数は自然対数とする．
(i)f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(ii)直線y=xと直線x=3/4および曲線y=f(x)で囲まれた部分の面積Sを求めよ．
(2)α=2/5πとする．
(i)cos3α=cos2αが成り立つことを用いて，cosαとcos2αの値を求めよ．
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　国立 鹿児島大学 2013年 第4問

xy平面において，曲線y=exと3直線y=x+1,x=1,x=-1で囲まれた部分をDとする．ただしeは自然対数の底である．次の各問いに答えよ．
(1)関数f(x)=ex-(x+1)の増減，極値，凹凸を-1≦x≦1の範囲で調べ，増減表にまとめよ．
(2)Dを図示せよ．
(3)Dをx軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積Vを求めよ．

　国立 群馬大学 2013年 第4問

曲線C:y=x-1+2\sqrt{x-1}に点P(1/2,0)から接線ℓを引く．
(1)接線ℓの方程式を求めよ．
(2)曲線Cと接線ℓおよびx軸で囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 京都工芸繊維大学 2013年 第4問

xy平面上の曲線C:y=1/x(x＞0)を考える．0＜p＜qのとき，C上の2点P(p,1/p)，Q(q,1/q)を通る直線とCで囲まれる図形の面積をSとし，その図形をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をVとする．
(1)r=q/pとおくとき，SおよびVの値をp,rを用いて表せ．
(2)自然数nに対して，p=3^{n-1}，q=3^{n}のときのVの値をVnとおく．無限級数\・・・

　国立 山口大学 2013年 第3問

xy平面において，曲線y=\frac{x}{x2+1}とy=\frac{x2}{2}の原点以外の交点をPとする．また，この2つの曲線で囲まれた図形をDとする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)点Pの座標を求めなさい．
(2)Dの面積を求めなさい．
(3)Dをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めなさい．

　国立 九州工業大学 2013年 第1問

-π/2≦x≦π/2の範囲において，曲線C1:y=sin2xと曲線C2:y=cosxの交点のx座標をa,b,c(a＜b＜c)とする．以下の問いに答えよ．
(1)a,b,cの値を求めよ．
(2)交点(b,sin2b)における2つの曲線C1とC2のそれぞれの接線は垂直ではないことを示せ．
(3)a≦x≦bの範囲で2つの曲線C1,C2によって囲まれた部分の面積をS1とし，b≦x≦cの範囲で2つの曲線C1,C2によって囲まれた部分の面積をS2とす・・・