「回転」について

　私立 成城大学 2013年 第3問

一辺の長さがa1の正方形S1がある．以下の図のように，S1の対角線を一辺とする正方形S2をつくり，その一辺の長さをa2とする．さらに，S2の対角線を一辺とする正方形S3をつくり，その一辺の長さをa3とする．
以下，1≦n≦7に対して同様にしてつくられる正方形Snの一辺の長さをanとし，n個の正方形S1,・・・,Snが重なってできる多角形の面積をAnとするとき，以下の問いに答えよ．ただし，正方形は点Oを・・・

　私立 青山学院大学 2013年 第3問

AB=AC=1，∠BAC=π/2を満たす直角二等辺三角形ABCについて，辺AC上に点Dをとり，辺ABと平行で点Dを通る直線をℓとする．AD=tとし，0＜t≦1/2のとき，三角形ABCを直線ℓのまわりに1回転させてできる回転体の体積をV(t)とする．
(1)V(t)をtを用いて表せ．
(2)tが0＜t≦1/2の範囲を動くとき，V(t)の最小値を求めよ．

　私立 早稲田大学 2013年 第4問

直線x+y=1に接する楕円
\frac{x2}{a2}+\frac{y2}{b2}=1(a＞0,b＞0)
をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をVとする．
a2=\frac{[ヌ]}{[ニ]},b2=\frac{[ネ]}{[ニ]}のとき，Vは最大値\frac{[ハ]√3π}{[ノ]}をとる．

　私立 中京大学 2013年 第2問

媒介変数表示{\begin{array}{l}
x=θ-sinθ\
y=cosθ
\end{array}.(0＜θ＜2π)で表される曲線Cについて，次の各問に答えよ．
(1)曲線Cの導関数dy/dxをθの関数で表せ．
(2)曲線Cとx軸で囲まれる部分をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を求めよ．

　公立 愛知県立大学 2013年 第3問

aをa＞2を満たす実数とし，
f(t)=\frac{sin2at+t2}{atsinat},g(t)=\frac{sin2at-t2}{atsinat}(0＜|t|＜π/2a)
とする．また，Cを曲線x2-y2=\frac{4}{a2}(x≧2/a)とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点(f(t),g(t))は，曲線C上の点であることを示せ．
(2)点(\lim_{t→0}f(t),\lim_{t→0}g(t))における曲線Cの法線の方程式を求めよ．
(3)曲線C・・・

　公立 広島市立大学 2013年 第4問

曲線y=e^{2x}をCとする．Cの接線で原点を通るものをℓ1とし，Cとℓ1の接点PにおけるCの法線をℓ2とする．以下の問いに答えよ．
(1)直線ℓ1の方程式，および点Pの座標を求めよ．
(2)直線ℓ2の方程式，および直線ℓ2とy軸の交点Qの座標を求めよ．
(3)次の問いに答えよ．
(i)部分積分法を用いて不定積分∫logxdx，∫(logx)2dxを求めよ．
(ii)曲線・・・

　公立 福岡女子大学 2013年 第3問

以下の問いに答えなさい．
(1)logxの不定積分，および(logx)2の不定積分を求めなさい．
(2)曲線y=logx上の点(e2,2)における接線ℓの方程式を求めなさい．
(3)曲線y=logxと(2)で求めた接線ℓ，およびx軸で囲まれた図形をSとする．Sをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めなさい．

　公立 京都府立大学 2013年 第3問

0≦a＜1とする．xy平面上の曲線Cをy=1+x\sqrt{1-x2}で，直線ℓをy=1+axで定める．Cとℓで囲まれた部分をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積をaの関数と考えてV(a)とする．以下の問いに答えよ．
(1)-1≦x≦1とするとき，不等式2x\sqrt{1-x2}≧xを解け．
(2)V(a)をaを用いて多項式で表せ．
(3)Mn=1/2nΣ_{k=1}nV(k/2n)とするとき，\lim_{n→∞}Mnを求めよ．

　公立 名古屋市立大学 2013年 第2問

逆行列をもつ行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})によって表される1次変換を考える．以下の問いに答えよ．
(1)この変換によってxy平面上の任意の2点P(x1,y1)およびQ(x2,y2)がそれぞれP´({x1}´,{y1}´)およびQ´({x2}´,{y2}´)に移されるとき，2点間の距離が変換によって変化しない，つまり，|ベクトルPQ|2=|\overrightarrow{P´Q´}|2であるための必要十分条・・・

　公立 札幌医科大学 2013年 第1問

座標平面上の点A(1,0)と曲線C:y=x√xを考える（ただしx≧0とする）．曲線C上の点のうち，点Aまでの距離が最小となるような点をPとし，点Pにおける曲線Cの接線とx軸との交点をQとする．
(1)点Pのx座標を求めよ．
(2)点Qのx座標を求めよ．
(3)曲線Cとx軸および線分PQで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転させた回転体の体積をV1とする．また，曲線Cとx軸および線分APで囲まれた図形をx軸のまわりに・・・