「回転」について

　公立 和歌山県立医科大学 2013年 第1問

関数f(x)を，
f(x)={\begin{array}{ll}
2x+1&(0≦x＜π/2)\
2x+sinx&(x≧π/2)\phantom{\frac{[ア]}{2}}
\end{array}.
と定め，関数g(x)を，g(x)=f(2x)-2f(x)(0≦x≦2π)と定める．
(1)関数g(x)の最大値と最小値，およびそれらをとるxの値を求めよ．
(2)曲線C:y=g(x)の概形を描け．ただし，変曲点に留意しなくてよい．
(3)区間[0,2π]で，曲線Cとx軸の・・・

　公立 富山県立大学 2013年 第3問

x≧0とする．関数f(x)=e^{-2x3}，g(x)=xe^{-x3}について，次の問いに答えよ．ただし，\lim_{x→∞}g(x)=0は証明なしに用いてよい．
(1)導関数f´(x)を求めよ．
(2)y=g(x)の増減，極値および変曲点を調べて，そのグラフの概形をかけ．
(3)a≧0とし，曲線y=g(x)とx軸および2直線x=a，x=a+1で囲まれた部分を，x軸の周りに1回転させてできる立体の体積をV(a)とする．このとき，極限値\lim_{a→∞}e^{2a3}V(a)を求めよ．
\end・・・

　公立 岐阜薬科大学 2013年 第6問

空間内に3点P(t,0,2t\sqrt{1-t2})，Q(t,\sqrt{1-t2},0)，R(t,-\sqrt{1-t2},0)を考える．tが0から1まで動くとき，三角形PQRが通過してできる立体をKとする．
(1)三角形PQRの面積Sをtを用いて表せ．
(2)立体Kの体積V1を求めよ．
(3)立体Kをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積V2を求めよ．

　公立 奈良県立医科大学 2013年 第10問

曲線y=loge(x+1)-1とx軸およびy軸で囲まれた図形を，y軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　公立 福島県立医科大学 2013年 第1問

以下の各問いに答えよ．
(1)座標平面上の直線x+2y=6上にあって，点(2,-3)との距離が最小になる点の座標を求めよ．
(2)座標平面上の曲線C:x2+xy+y2=3について，以下の問いに答えよ．
(i)原点のまわりの{45}°の回転移動によって，C上の各点が移る曲線の方程式を求めよ．
(ii)曲線Cで囲まれた図形のうち，y≧0の領域に含まれる部分の面積を求めよ．
(3)座標平面上において，曲線C1:y=xlogx(x≧1)と放物線C_・・・

　国立 東京大学 2012年 第3問

座標平面上で2つの不等式
y≧1/2x2,\frac{x2}{4}+4y2≦1/8
によって定まる領域をSとする．Sをx軸のまわりに回転してできる立体の体積をV1とし，y軸のまわりに回転してできる立体の体積をV2とする．
(1)V1とV2の値を求めよ．
(2)\frac{V2}{V1}の値と1の大小を判定せよ．

　国立 九州大学 2012年 第1問

円x2+(y-1)2=4で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 岡山大学 2012年 第3問

aを正の定数とし，座標平面上の2曲線C1:y=e^{x2},C2:y=ax2を考える．このとき以下の問いに答えよ．ただし必要ならば\lim_{t→+∞}\frac{et}{t}=+∞であることを用いてもよい．
(1)t＞0の範囲で，関数f(t)=\frac{et}{t}の最小値を求めよ．
(2)2曲線C1,C2の共有点の個数を求めよ．
(3)C1,C2の共有点の個数が2のとき，これらの2曲線で囲まれた領域をy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 埼玉大学 2012年 第3問

xy平面上に曲線C:y=x2-xと直線ℓ:y=xがある．
(1)ℓ上の点P(\frac{t}{√2},\frac{t}{√2})(0≦t≦2√2)を通り，ℓと垂直な直線をmとする．mとCの共有点のうち，x座標が0以上のものをQとする．Qの座標を求めよ．
(2)0≦t≦2√2のとき，線分PQの長さの最大値とそのときのtを求めよ．
(3)Cとℓで囲まれた部分をℓを軸として1回転してできる立体の体積を求めよ．
\・・・

　国立 信州大学 2012年 第2問

f(x)=\frac{x+√3}{\sqrt{x2+1}}について，次の問に答えよ．
(1)y=f(x)の増減，極値，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，変曲点のy座標は求めなくてよい．
(2)y=f(x)とx軸およびy軸とで囲まれる図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．