「回転」について

　国立 九州工業大学 2012年 第2問

Oを原点とする座標平面上に点A(0,1)があり，点Aからの距離が4である点P(x,y)がx＞0，y＞1をみたすように動く．直線APがx軸の正の向きとなす角をθ，点Pからx軸に垂線を下ろしたときの交点をQとする．以下の問いに答えよ．
(1)点Pの座標をθを用いて表せ．
(2)四角形OAPQの面積Sをθを用いて表せ．
(3)(2)で求めたSが最大となるときのsinθの値を求めよ．
(4)四角形OAPQをx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積Vをθを用いて表せ．
(5)(4)で求めたVが・・・

　国立 香川大学 2012年 第3問

放物線C:y=x2-x+1について，次の問に答えよ．
(1)点(0,0)を通り，放物線Cに接する2つの直線の方程式を求めよ．
(2)放物線Cと，(1)で求めた2つの接線で囲まれる図形をDとするとき，Cと接線の概形をかき，Dを図示せよ．
(3)Dをx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ．

　国立 鹿児島大学 2012年 第4問

eを自然対数の底とし，logxを自然対数とする．次の各問いに答えよ．
(1)p,qをp＞0,q＞1を満たす定数とする．曲線y=plogxと直線x=qとx軸とで囲まれた部分の面積をp,qを使って表せ．
(2)2つの曲線y=logx,y=3logxと2つの直線x=e,x=e2で囲まれた部分をDとする．Dの面積を求めよ．
(3)(2)で与えられたDをx軸のまわりに回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 和歌山大学 2012年 第3問

座標平面上に2点P0(0,0)，P1(1,0)がある．n=1,2,3,・・・に対して，点P_{n+1}を以下のように順に定める．
線分P_{n-1}Pnを点Pnを中心として時計まわりに60°回転させて得られる線分の上に，PnP_{n+1}=1/2P_{n-1}Pnとなるように点P_{n+1}を定める．
このとき，次の問いに答えよ．
(1)P3の座標を求めよ．
(2)自然数kに対して・・・

　国立 和歌山大学 2012年 第3問

座標平面上に2点P0(0,0)，P1(1,0)がある．n=1,2,3,・・・に対して，点P_{n+1}を以下のように順に定める．
線分P_{n-1}Pnを点Pnを中心として時計まわりに60°回転させて得られる線分の上に，PnP_{n+1}=1/2P_{n-1}Pnとなるように点P_{n+1}を定める．
このとき，次の問いに答えよ．
(1)P3の座標を求めよ．
(2)自然数kに対して・・・

　国立 徳島大学 2012年 第3問

f(x)=√xe^{-x}(0≦x≦1)とする．
(1)関数f(x)の最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線y=f(x)とx軸および直線x=1で囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

　国立 徳島大学 2012年 第4問

座標平面上に2点P(x,2)，Q(1-√3,y)がある．
(1)原点を中心とする60°の回転移動によって点Pが点Qに移るとき，xとyの値を求めよ．
(2)xとyは(1)で求めた値とする．点Pを点Qに，点Qを点Pに移す1次変換を表す行列Aを求めよ．
(3)自然数nと(2)で求めた行列Aに対し
A+2A2+3A3+4A4+・・・+(2n-1)A^{2n-1}+2nA^{2n}
を求めよ．

　国立 徳島大学 2012年 第2問

f(x)=√xe^{-x}(0≦x≦1)とする．
(1)関数f(x)の最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線y=f(x)とx軸および直線x=1で囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

　国立 お茶の水女子大学 2012年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)x＞0で
f(x)+∫1x\frac{f(t)}{t}dt=3x2-2x
を満たす多項式f(x)を求めよ．
(2)x＞0で(1)で求めたf(x)とg(x)=1+3logxを考える．このとき関数f(x)とg(x)のグラフをかけ．
(3)連立不等式
{
\begin{array}{l}
x＞0\\
0≦y≦1\\
g(x)≦y≦f(x)
\end{array}
.
を満たす領域の面積を求めよ．
(4)(3)で求めた領域をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 お茶の水女子大学 2012年 第1問

半径2の円板がx軸上を正の方向に滑らずに回転するとき，円板上の点Pの描く曲線Cを考える．円板の中心の最初の位置を(0,2)，点Pの最初の位置を(0,1)とする．
(1)円板がその中心のまわりに回転した角をθとするとき，Pの座標は
(2θ-sinθ,2-cosθ)
で与えられることを示せ．
(2)点P(2θ-sinθ,2-cosθ)(0＜θ＜2π)における曲線Cの法線とx軸との交点をQとする．線分PQの長さが最大となるような点Pを求めよ．ここで，Pにおいて接線に直交する直線・・・