「回転」について

　国立 宇都宮大学 2012年 第6問

関数y=e^{-x}のグラフをCとする．C上の点P(t,e^{-t})における接線とx軸との交点をQ(u,0)とする．C上の点(u,e^{-u})をRとするとき，次の問いに答えよ．
(1)uをtの式で表せ．
(2)線分PQ，線分QRとCで囲まれた部分を図形Aとする．図形Aをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vをtの式で表せ．
(3)(1)のuをtの関数とみてu(t)と表す．数列{tn}をt1=0,t_{n+1}=u(tn)(n=1,2,・・・)と定義するとき，一般項tnを求めよ．
(4)(2)のVをtの関数とみてV(t)・・・

　国立 小樽商科大学 2012年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)\frac{x2}{4}+y2=1(y≧0)とx軸で囲まれる部分の面積を積分法を用いて求めよ．
(2)(1)のグラフをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を積分法を用いて求めよ．

　国立 愛知教育大学 2012年 第4問

座標空間内において，4点(2,0,0)，(2,1,0)，(-2,1,0)，(-2,0,0)を頂点とする長方形をx軸のまわりに回転してできる円柱と，原点を中心とする半径2の球との共通部分の体積を求めよ．

　国立 東京農工大学 2012年 第3問

区間1≦x≦4で定められた関数f(x)=\sqrt{4x-x2},g(x)=\sqrt{xlog4/x}について，次の問いに答えよ．ただし対数は自然対数とする．
(1)曲線y=f(x)とx軸および直線x=1で囲まれた部分を，x軸の周りに1回転させてできる回転体の体積Vを求めよ．
(2)区間1≦x≦4において{f(x)}2-{g(x)}2≧0が成り立つことを示せ．
(3)2つの曲線y=f(x),y=g(x)と直線x=1で囲まれた部分をDとおく．Dをx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積Wを・・・

　国立 福井大学 2012年 第4問

曲線C:y=e^{-x}上の点A(a,e^{-a})における法線をℓとし，ℓに関して点(a,0)と対称な点をB，直線ABとy軸との交点をPとする．点Pのy座標をf(a)とおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(a)をaを用いて表せ．
(2)aが実数全体を動くとき，f(a)の最大値とそのときのaの値を求めよ．
(3)aを(2)で求めた値とするとき，曲線C，y軸と線分APで囲まれた部分を，y軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 福井大学 2012年 第3問

曲線C:y=e^{-x}上の点A(a,e^{-a})におけるCの法線mと直線ℓ1:x=aに関して，以下の問いに答えよ．
(1)ℓ1とmのなす角をθとするとき，tanθをaを用いて表せ．ただし，0＜θ＜π/2とする．
(2)mに関してℓ1と対称な直線をℓ2とするとき，ℓ2の方程式をaを用いて表せ．
(3)ℓ2とy軸の交点をPとおく．aが実数全体を動くとき，Pのy座標の最大値とそのときのaの値を求めよ．
(4)aを(3)で求めた・・・

　国立 豊橋技術科学大学 2012年 第1問

座標平面上の点を，原点のまわりに角θだけ回転移動させる一次変換を表す2行2列の行列をAとする．以下の問いに答えよ．
(1)座標平面上の点P0(a,b)がAによって変換された点を点P1とする．2点P0，P1の間の長さを求めよ．
(2)An=Eとなる条件を示せ．ただし，nは2以上の整数，0≦θ≦π，Eは単位行列とする．
(3)座標平面上の点P0(a,b)がAによってl回変換された点を点Plとする．点P0がAによってn回・・・

　国立 愛媛大学 2012年 第1問

図のような1辺の長さを1とする立方体ABCD-EFGHを考える．\\
線分AHと線分EDの交点をKとする．さらに，辺CGを3:1\\
に内分する点をLとし，辺EFをp:1-pに内分する点をMと\\
する．ただし，0＜p＜1である．また，ベクトルa=ベクトルEF，ベクトルb=ベクトルEH，\\
ベクトルc=ベクトルEAとおく．
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(1)ベクトルKLおよびベクトルKMをそれぞれベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ．
(2)・・・

　私立 早稲田大学 2012年 第5問

xy平面上に2点A(-1,0)，B(1,0)をとる．π/4≦∠APB≦πをみたす平面上の点Pの全体と点A，Bからなる図形をFとする．つぎの問に答えよ．
(1)Fを図示せよ．
(2)Fをx軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ．

　私立 東京慈恵会医科大学 2012年 第3問

nを3以上の整数とする．xyz空間の平面z=0上に，1辺の長さが4の正n角形Pがあり，Pの外接円の中心をGとおく．半径1の球Bの中心がPの辺に沿って1周するとき，Bが通過してできる立体をKnとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)Pの隣り合う2つの頂点P1，P2をとる．Gから辺P1P2に下ろした垂線とP1P2との交点をQとするとき，GQ＞1となることを示せ．
(2)次の各問に答えよ．
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