「回転」について

　私立 大阪工業大学 2012年 第4問

関数f(x)=x\sqrt{1-x}(0≦x≦1)について，次の問いに答えよ．
(1)f(x)を微分せよ．
(2)f(x)の最大値を求めよ．
(3)曲線y=f(x)とx軸で囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ．

　私立 東京理科大学 2012年 第3問

aをa＞2であるような実数とする．座標平面上で，曲線y=1/xをC1とし，点(a,a)を中心とし点(1,1)を通る円をC2とする．曲線C1と円C2の点(1,1)以外の共有点のうち，x座標が1より小さいものをBとする．点Bから直線y=xに下ろした垂線と直線y=xの交点をHとする．
(1)円C2の方程式を求めよ．
(2)点Hの座標を求めよ．また，点Hと点(1,1)の距離を求めよ．
(3)tを正の実数とする．直線y=x上にあり点(1,1)から・・・

　公立 大阪府立大学 2012年 第2問

kとaを正の定数とする．曲線C:y=\frac{x}{x+k}(x≧0)と直線x=aおよびx軸で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をV1とする．また，曲線Cと直線y=\frac{a}{a+k}およびy軸で囲まれた図形をy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積をV2とする．このとき，比\frac{V2}{V1}を求めよ．

　公立 大阪府立大学 2012年 第2問

座標平面上に3点O(0,0)，A(r,0)，B(0,1)がある．Oを中心として，Aを反時計回りにθ回転した点をA´とし，線分ABと線分OA´の交点をPとする．ただし，rはr＞1を満たす定数とし，θは0＜θ＜π/2を満たす変数とする．θが不等式1/2rcosθ≦sinθ≦2rcosθを満たしながら変化するとき，|ベクトルOP|の最小値Mと，そのときのPの座標(k,l)を求めよ．

　公立 兵庫県立大学 2012年 第2問

kを正の定数とする．放物線y=kx2と直線y=1で囲まれた図形Dを考える．この図形Dをx軸のまわりに1回転した立体の体積をV1，y軸のまわりに1回転してできる立体の体積をV2とする．V1=V2となるようなkの値を定めよ．

　公立 九州歯科大学 2012年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)原点Oを中心とし，{150}°だけ回転すると，点P(x,y)が点(7,√3)に移った．xとyの値を求めよ．
(2)x≧0と自然数nに対して，2つの曲線y=√xとy=xn√xで囲まれる図形の面積をS1とする．一方，曲線y=√xと直線y=xで囲まれる図形の面積をS2とする．7S1=24S2をみたすnの値を求めよ．
(3)さいころを3回続けて投げたとき，第3回目に出た目の数が第1回目と第2回目に出た目の数のいずれよりも大きくなる確・・・

　公立 岐阜薬科大学 2012年 第6問

円x2+(y-a)2=r2で囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積をV(a)とするとき，次の問いに答えよ．ただし，a,rは正の実数とする．
(1)a≧rのとき，V(a)を求めよ．
(2)0＜a＜rとする．
(i)0＜θ＜π/2のとき，sinθ＜θ＜tanθが成り立つ．このことを用いて，次の不等式が成り立つことを示せ．
\frac{(r+a)\sqrt{r2-a2}}{2}＜∫0^{\sqrt{r2-a2}}\sqrt{r2-x2}dx＜\frac{(r2+a2)\sqr・・・

　国立 埼玉大学 2011年 第1問

2つの放物線y=x2およびy2=8xを考える．次の問いに答えよ．
(1)2つの放物線の共有点を求めよ．
(2)2つの放物線によって囲まれた部分をSとする．Sの面積を求めよ．
(3)Sをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 名古屋大学 2011年 第1問

-1/4＜s＜1/3とする．xyz空間内の平面z=0の上に長方形
Rs={f(x,y,0)\;|\;1≦x≦2+4s,1≦y≦2-3s}
がある．長方形Rsをx軸のまわりに1回転してできる立体をKsとする．
(1)立体Ksの体積V(s)が最大となるときのsの値，およびそのときのV(s)の値を求めよ．
(2)sを(1)で求めた値とする．このときの立体Ksをy軸のまわりに1回転してできる立体Lの体積を求めよ．

　国立 大阪大学 2011年 第2問

実数θが動くとき，xy平面上の動点P(0,sinθ)およびQ(8cosθ,0)を考える．θが0≦θ≦π/2の範囲を動くとき，平面内で線分PQが通過する部分をDとする．Dをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ．