「回転」について

　国立 鳥取大学 2011年 第3問

曲線C:y=logx(x＞0)について，次の問いに答えよ．ただし，logxはxの自然対数である．
(1)不定積分∫logxdxを求めよ．
(2)原点から曲線Cに引いた接線ℓの方程式および接点の座標を求めよ．
(3)曲線Cと(2)で求めた接線ℓおよびx軸とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(4)曲線Cと(2)で求めた接線ℓおよびx軸とで囲まれた部分をx軸の周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 山口大学 2011年 第2問

座標平面において，2点A(1,0)，B(2,0)を原点のまわりにθだけ回転した点をそれぞれC，Dとおく，ただし，0＜θ＜π/2とする．点Cを通り直線CDと垂直に交わる直線をℓとし，点Dを通り直線CDと垂直に交わる直線をmとする．また，直線ℓと直線mによりはさまれた領域をSとし，不等式0≦y≦xの表す領域をTとする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)直線ℓ,mの方程式を求めなさい．
(2)θが0＜θ＜π/2の範囲・・・

　国立 九州工業大学 2011年 第3問

正の実数aと関数f(x)=|x2-a2|(-2a≦x≦2a)がある．y=f(x)のグラフをy軸のまわりに回転させてできる形の容器にπa2(　cm　3/　秒　)の割合で水を静かに注ぐ．水を注ぎ始めてから容器がいっぱいになるまでの時間をT(秒)とする．ただし，長さの単位はcmとする．次の問いに答えよ．
(1)y=f(x)のグラフの概形を描け．
(2)水面の高さがa2(cm)になったとき，容器中の水の体積をV(cm3)とする．Vをaを用いて表せ．
(3)Tをaを用いて表せ．
(4)水を注ぎ始めてからt・・・

　国立 群馬大学 2011年 第1問

関数f(x)=3sinx-sin3x(0≦x≦π)について，次の問いに答えよ．
(1)f(x)のグラフは直線x=π/2に関して対称になることを示せ．
(2)0＜x＜πのとき，f(x)の極値を求めよ．
(3)曲線y=f(x)(0≦x≦π)とx軸で囲まれた部分を，x軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ．

　国立 宇都宮大学 2011年 第6問

曲線C1は媒介変数tを用いて
x=t-sint,y=1-cost(0≦t≦2π)
と表されるとする．また，曲線C2は
x=t-sint,y=1+cost(0≦t≦2π)
と表されるとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)C1とC2は直線y=1に関して対称であることを示せ．
(2)C1とC2の交点の座標を求めよ．
(3)C1とC2で囲まれた部分をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

　国立 茨城大学 2011年 第1問

f(x)=e^{-x2}(x≧0)とする．以下の各問に答えよ．
(1)x≧0に対して，不等式ex＞xおよびex＞\frac{x2}{2}が成り立つことを示せ．
(2)\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}=0および\lim_{t→+0}tlog1/t=0を示せ．
(3)f(x)は減少関数であることを示せ．また，y=f(x)の逆関数x=g(y)を求めよ．
(4)aを0＜a＜1を満たす実数とする．y軸，y＝f(x)のグラフおよび直線y=aで囲まれた図形をy軸のまわりに1回転して・・・

　国立 山形大学 2011年 第2問

媒介変数tを用いてx=t2,y=t3と表される曲線をCとする．ただし，tは実数全体を動くとする．また，実数a(a≠0)に対して，点(a2,a3)におけるCの接線をℓaとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)ℓaの方程式を求めよ．
(2)曲線Cの0≦t≦1に対応する部分の長さを求めよ．ただし，曲線x=f(t),y=g(t)のα≦t≦βに対応する部分の長さは∫_{α}^{β}\sqrt{(dx/dt)2+(dy/dt)2・・・

　国立 山形大学 2011年 第3問

座標平面上で原点を中心とする角θ(ラジアン)の回転移動を表す行列をR(θ)とする．また，0＜θ＜π(θ≠π/2)となるθに対し，直線y=(tanθ)xに関する対称移動を表す行列をA(θ)とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)行列X=R(θ)^{-1}A(θ)R(θ)を求めよ．また，sに対してXR(s)X=R(t)を満たすtを求めよ．ただし，R(θ)^{-1}はR(θ)の逆行列である．
(2)0＜α＜π,0＜\bet・・・

　国立 奈良教育大学 2011年 第4問

eを自然対数の底とする．関数f(x)をf(x)=log(e-x)(x＜e)とする．このとき，以下の設問に答えよ．
(1)曲線y=f(x)とx軸との交点を求めよ．
(2)曲線y=f(x)とy軸との交点をPとする．点Pにおける曲線y=f(x)の接線をℓとする．直線ℓの方程式を求めよ．
(3)曲線y=f(x)と直線ℓのグラフを描け．
(4)曲線y=f(x)と直線ℓおよびx軸によって囲まれた図形をy軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 山形大学 2011年 第4問

媒介変数tを用いてx=t2,y=t3と表される曲線をCとする．ただし，tは実数全体を動くとする．また，実数a(a≠0)に対して，点(a2,a3)におけるCの接線をℓaとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)ℓaの方程式を求めよ．
(2)曲線Cの0≦t≦1に対応する部分の長さを求めよ．ただし，曲線x=f(t),y=g(t)のα≦t≦βに対応する部分の長さは∫_{α}^{β}\sqrt{(dx/dt)2+(dy/dt)2・・・