「回転」について

　私立 津田塾大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)f(x)=e^{-x}+∫0xe^{-(x-t)}sintdtとする．このとき，f´(x)+f(x)=sinxが成り立つことを示せ．
(2)座標空間において，原点Oと点A(1,1,1)を通る直線をℓとし，原点Oを通り直線ℓとのなす角がπ/3である直線の1つをmとする．直線mを直線ℓのまわりに1回転してできる図形をSとする．点P(x,y,z)がS上にあるならば，
x2+y2+z2+8xy+8yz+8zx=0
が成り立つこと・・・

　私立 津田塾大学 2011年 第3問

次の問に答えよ．
(1)不定積分∫{(logx)}2dxを求めよ．
(2)関数y=logxのグラフをCとする．Cに接し，かつ原点を通る直線ℓの式を求めよ．
(3)Cとℓとx軸とで囲まれた図形をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ．

　私立 青山学院大学 2011年 第5問

曲線y=e^{x2}-1(x≧0)をy軸のまわりに回転させてできる容器がある．この容器に，時刻tにおける水の体積がvtとなるように，単位時間あたりvの割合で水を注入する．ただし，vは正の定数であり，y軸の負の方向を鉛直下方とする．
(1)不定積分∫log(y+1)dyを求めよ．
(2)水面の高さがhとなったときの容器内の水の体積Vを，hを用いて表せ．ただし，hは容器の底から測った高さである．
(3)水面の高さがe^{10}-1となった瞬間における，水面の高さの変化率\displ・・・

　私立 早稲田大学 2011年 第7問

a＞0，b≧0のとき，曲線y=-acosπx+a+b(0≦x≦1)をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積をVとすると，
V=π/2([ノ]a2+[ハ]ab+[ヒ]b2)
となる．また，ある定数cに対し2a+b=cが成り立つとすると，a=\frac{c}{[フ]}のとき，Vは最小値\frac{[ヘ]}{8}πc2をとる．

　公立 大阪市立大学 2011年 第1問

aは実数で0＜a＜1とする．座標平面上の第1象限にある曲線y=1/xと2直線y=x,y=axで囲まれる部分P(a)の面積をS(a)とする．次の問いに答えよ．
(1)S(a)をaを用いて表せ．
(2)2S(1/e)≦S(a)≦2S(1/e)+1となるaの範囲を求めよ．
(3)P(a)をx軸の周りに回転して得られる回転体の体積V(a)と\lim_{a→0}V(a)を求めよ．

　公立 大阪府立大学 2011年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)不定積分
I1=∫logxdx,I2=∫(logx)2dx
をそれぞれ求めよ．ただし，積分定数は省略してよい．
(2)2曲線y=log(x+1),y=log2xとx軸とで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ．

　公立 名古屋市立大学 2011年 第4問

xy平面上において，媒介変数t(0≦t≦2π)によってx=2(1+cost)cost,y=2(1+cost)sintと表される下図の曲線について次の問いに答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)xの最大値，最小値を求めよ．
(2)dx/dtを求めよ．
(3)この曲線で囲まれる図形をx軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　公立 会津大学 2011年 第4問

aを正の定数とする．原点をOとし，曲線y=x3上に点P(a,a3)をとり，線分OPと曲線によって囲まれた部分をAとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)Aをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ．
(2)Aをy軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Wを求めよ．
(3)直線OPの傾きをmとするとき，mW/Vの値を求めよ．

　公立 名古屋市立大学 2011年 第1問

座標平面上の点(1,0)に物体Aがある．さいころを振り，1から4の目が出たら原点から距離1だけ遠ざけ，5または6の目が出たときには原点のまわりに15度時計方向と逆回りに回転させる．物体Aがy軸に達するまでこれを続ける．次の問いに答えよ．
(1)物体Aが点(0,n)(n=1,2,3,・・・)に達する確率Pnを求めよ．
(2)Pnを最大にするnを求めよ．

　公立 名古屋市立大学 2011年 第2問

半径1の円が直線上を一定の速さa(a＞0)で滑らないように回転しながら進んでいる．時刻0において直線と接している円周上の点をP，時刻0からtまでに円が回転した角度をθとする．次の問いに答えよ．
(1)時刻tにおけるPの速度ベクトルの大きさ|ベクトルv(t)|を求めよ．
(2)積分∫0^{\frac{2π}{a}}|ベクトルv(t)|dtを求めよ．