「回転」について

　公立 福岡女子大学 2011年 第4問

座標平面上で原点Oを中心に一定の角θで回転移動する1次変換をfとし，一定の正の数rで各点(x,y)を点(rx,ry)に移す相似変換をgとする．また，gとfの合成変換g\circfを表す行列をK(r,θ)とする．原点Oと異なる座標平面上の点P(a,b)に対して，点Q(c,d)を次で定める：
(\begin{array}{c}
c\
d
\end{array})=K(r,θ)(\begin{array}{c}
a\
b
\end{array})
次の問に答えなさい．
(1)K(r,θ)を・・・

　公立 和歌山県立医科大学 2011年 第3問

座標平面において原点を中心とする半径1の円をC1とし，点(1,0)を中心とする半径3の円をC2とする．動点PはC1上を反時計回りに1秒間に2回転の速さで等速円運動をし，動点QはC2上を反時計回りに1秒間に1回転の速さで等速円運動をしている．時刻t=0のとき，Pは(0,1)にあり，Qは(4,0)にあるものとする．2点P，Q間の距離の2乗の最大値と最小値，およびそれらをとるP，Qの座標を求めよ．

　公立 和歌山県立医科大学 2011年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=\frac{sin2x}{x}の導関数を求めよ．
(2)n=1,2,3に対して，an=∫_{nπ}^{(n+1)π}\frac{|sinx|}{x}dxとおく．連立不等式
π/2≦x≦2π,0≦y≦|\frac{sinx|{x}}
によって表される領域の部分をx軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を，a1，a2，a3を用いて表せ．

　公立 奈良県立医科大学 2011年 第4問

xy平面において原点O(0,0)を中心とする半径1の円をSとし，円Sの任意の点Pに対して，点Pにおける円Sの接線をL(P)とおく．
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})
を全ての成分が実数からなる2行2列の行列とし，Aによって定まるxy平面の一次変換
(\begin{array}{c}
x´\
y´
\end{array})=A(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})
を\varphiとおく．このとき，円Sの任意の点Pに対して円・・・

　公立 京都府立大学 2011年 第4問

座標平面上の楕円C1:4x2+y2=4について，以下の問いに答えよ．
(1)C1をx軸方向にp，y軸方向に1だけ平行移動した楕円をC2とする．1≦k≦2を満たすすべてのkに対して，直線ℓ:y=kx-3とC2が2個の共有点をもつとき，pの値の範囲を求めよ．
(2)a,b,c,d,eを定数とする．C1を原点まわりに{75}°回転した2次曲線を
C3:x2+axy+by2+cx+dy+e=0
とするとき，a,bの値を求めよ．

　国立 京都大学 2010年 第6問

座標空間内で，O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,1)，E(1,0,1)，F(1,1,1)，G(0,0,1)を頂点にもつ立方体を考える．この立方体を対角線OFを軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．

　国立 京都大学 2010年 第5問

座標空間内で，O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,1)，E(1,0,1)，F(1,1,1)，G(0,1,1)を頂点にもつ立方体を考える．
(1)頂点Aから対角線OFに下ろした垂線の長さを求めよ．
(2)この立方体を対角線OFを軸にして回転させて得られる回転体の体積を求めよ．

　国立 東京大学 2010年 第1問

3辺の長さがaとbとcの直方体を，長さがbの1辺を回転軸として90°回転させるとき，直方体が通過する点全体がつくる立体をVとする．
(1)Vの体積をa,b,cを用いて表せ．
(2)a+b+c=1のとき，Vの体積のとりうる値の範囲を求めよ．

　国立 弘前大学 2010年 第2問

a＞1を定数とする．3つの放物線y=x2,y=1/2x2,y=ax2のx≧0の部分をそれぞれ，C,C1,C2とする．C上の点Pからx軸に下ろした垂線と2曲線C,C1で囲まれた領域をD1とする．Pからy軸に下ろした垂線と2曲線C,C2で囲まれた領域をD2とする．
(1)領域D1,D2の面積をそれぞれS1,S2とする．点Pのとり方によらず常にS1=S2となるようなaの値を求めよ．
(2)領域D1,D2をy軸のまわりに1回転してできる立体の体積をそれぞれV1,V2とする・・・

　国立 静岡大学 2010年 第2問

xy平面上で，点A(-1,0)を中心とする円C1と点B(1,0)を中心とする円C2が原点Oで外接している．点Pは円C1上を，点Qは円C2上を，それぞれ正の向きに回転する．今，P，Qが同時に原点を出発して，QはPの2倍の速さで回転する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)∠　OAP　=θとするとき，P，Qの座標をそれぞれθを用いて表せ．
(2)線分PQの長さの最大値を求めよ．