「回転」について

　国立 静岡大学 2010年 第3問

xyz座標空間に，下図のように一辺の長さ1の立方体OABC-DEFGがある．この立方体をxy平面上の直線y=-xのまわりに，頂点Fがz軸の正の部分にくるまで回転させる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)回転後の頂点Bの座標を求めよ．
(2)回転後の頂点A，Gで定まるベクトルベクトルAGの成分を求めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
\begin{center}
\begin{picture}(6,6)(0,0)
\put(0.5,4){\line(1,0){3.5}}
\put(0.5,4){\line(0,-1){3.5}}
\put(4,0.5){\line(-1,0){3.5}}
\put(4,0.5){\line(0,1){3.・・・

　国立 東北大学 2010年 第5問

0＜t＜3のとき，連立不等式
{
\begin{array}{l}
0≦y≦sinx\\
0≦x≦t-y
\end{array}
.
の表す領域をx軸のまわりに回転して得られる立体の体積をV(t)とする．d/dtV(t)=π/4となるtと，そのときのV(t)の値を求めよ．

　国立 静岡大学 2010年 第4問

xy平面上で，点A(-1,0)を中心とする円C1と点B(1,0)を中心とする円C2が原点Oで外接している．点Pは円C1上を，点Qは円C2上を，それぞれ正の向きに回転する．今，P，Qが同時に原点を出発して，QはPの2倍の速さで回転する．このとき，次の問いに答えよ．
(1)∠　OAP　=θとするとき，P，Qの座標をそれぞれθを用いて表せ．
(2)線分PQの長さの最大値を求めよ．

　国立 静岡大学 2010年 第4問

連立不等式
x2+y2≦1,x≧0,y≧0
の表す領域をD，原点を通る傾きtanθ(-π/2＜θ＜π/2)の直線をℓとする．Dをℓのまわりに1回転させてできる回転体の体積をVとするとき，次の問いに答えよ．
(1)-π/2＜θ＜0のとき，Vをθを用いて表せ．
(2)-π/2＜θ＜π/2のとき，Vの最大値，最小値を求めよ．

　国立 静岡大学 2010年 第4問

連立不等式
x2+y2≦1,x≧0,y≧0
の表す領域をD，原点を通る傾きtanθ(-π/2＜θ＜π/2)の直線をℓとする．Dをℓのまわりに1回転させてできる回転体の体積をVとするとき，次の問いに答えよ．
(1)-π/2＜θ＜0のとき，Vをθを用いて表せ．
(2)-π/2＜θ＜π/2のとき，Vの最大値，最小値を求めよ．

　国立 九州大学 2010年 第4問

中心(0,a)，半径aの円をxy平面上のx軸の上をxの正の方向に滑らないように転がす．このとき円上の定点Pが原点(0,0)を出発するとする．次の問いに答えよ．
(1)円が角tだけ回転したとき，点Pの座標を求めよ．
(2)tが0から2πまで動いて円が一回転したときの点Pの描く曲線をCとする．曲線Cとx軸とで囲まれる部分の面積を求めよ．
(3)(2)の曲線Cの長さを求めよ．

　国立 埼玉大学 2010年 第4問

半径Rの円Cの中心を通る直線をℓとする．円C上の2点A，Bは弦ABがℓと交わらないように動くものとする．ℓを軸として弦ABを回転させてできる図形の面積をSとする．ただし，直線ℓは円Cと同一平面上にあるものとする．
(1)弦ABの長さを一定とするならば，弦ABがℓと平行のときSが最大となることを証明せよ．
(2)弦ABの長さが変化するとき，Sの最大値を求めよ．

　国立 信州大学 2010年 第3問

方程式y=(√x-√2)2が定める曲線をCとする．
(1)曲線Cとx軸，y軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ．
(2)曲線Cと直線y=2で囲まれた図形を，直線y=2のまわりに1回転してできる立体の体積Vを求めよ．

　国立 島根大学 2010年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)双曲線C:x2-y2=-1上の点(1,√2)における接線ℓの方程式を求めよ．
(2)Cとℓおよびy軸で囲まれた図形をy軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 富山大学 2010年 第2問

xyz空間内の6つの平面x=0,x=1,y=0,y=1,z=0,z=1によって囲まれた立方体をPとおく．Pをx軸のまわりに1回転してできる立体をPxとし，Pをy軸のまわりに1回転してできる立体をPyとする．さらに，PxとPyの少なくとも一方に属する点全体でできる立体をQとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)Qと平面z=tが交わっているとする．このとき，Pxを平面z=tで切ったときの切り口をRxとし，Pyを平面z=tで切ったときの切り口をRyとする．Rxの面積，Ryの面積，およびR_・・・