「回転」について

　国立 富山大学 2010年 第3問

xyz空間内の6つの平面x=0,x=1,y=0,y=1,z=0,z=1によって囲まれた立方体をPとおく．Pをx軸のまわりに1回転してできる立体をPxとし，Pをy軸のまわりに1回転してできる立体をPyとする．さらに，PxとPyの少なくとも一方に属する点全体でできる立体をQとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)Qと平面z=tが交わっているとする．このとき，Pxを平面z=tで切ったときの切り口をRxとし，Pyを平面z=tで切ったときの切り口をRyとする．Rxの面積，Ryの面積，およびR_・・・

　国立 山口大学 2010年 第3問

A,A´をそれぞれ座標平面上の点(αcosθ,αsinθ)，(-αcosθ,-αsinθ)とし，fを行列
\biggl(\begin{array}{cc}
rcosθ&-rsinθ\\
rsinθ&rcosθ
\end{array}\biggr)
の表す1次変換とする．α=(45/4)^{1/6},r=(10/3)^{1/6},θ=π/6とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)2点A，A^{\prime}の逆変換f^{-1・・・

　国立 香川大学 2010年 第4問

次の問に答えよ．
(1)関数y=|x2-1|のグラフの概形をかけ．
(2)a＞1とする．曲線y=|x2-1|とx軸，y軸および直線x=aとで囲まれた図形において，0≦x≦1の部分をS1とし，1≦x≦aの部分をS2とする．S1,S2をy軸のまわりに1回転してできる立体の体積をそれぞれV1,V2とする．V1,V2を求めよ．
(3)V1=V2となるとき，aの値を求めよ．

　国立 岐阜大学 2010年 第4問

xy平面上で曲線C:y=logxを考える．pを正の実数とし，C上の点(p,logp)における接線をℓpで表す．以下の問に答えよ．
(1)接線ℓpの方程式を求めよ．
(2)0＜p＜1の範囲でpを変化させたとき，接線ℓpとx軸，y軸で囲まれた図形の面積の最大値を求めよ．
(3)0＜p＜1とする．接線ℓpとx軸，曲線Cで囲まれた図形をx軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ．

　国立 長崎大学 2010年 第4問

aをa＞1を満たす定数とする．原点Oと点P(1,0)を線分で結び，点Pと点Q(a,loga)を曲線y=logxで結ぶ．このようにして得られる曲線OPQを，y軸の周りに1回転させてできる立体の容器を考える．ただし，OPを含む部分を底面として，水平に置くものとする．次の問いに答えよ．
(1)この容器の容積Vをaを用いて表せ．
(2)mを正の定数とする．この容器に，単位時間あたりmの水を一定の割合で注ぎ入れる．ただし，最初は水が全く入っていない状態とする．注ぎ始めてから時間t(0＜t＜・・・

　国立 鳥取大学 2010年 第2問

xy平面における原点Oと点A(3,2)に対して，次の問いに答えよ．
(1)傾きが4/3で，点Aを通る直線ℓの方程式を求めよ．
(2)(1)で求めた直線ℓの点Aにおける法線をmとする．直線mの方程式を求めよ．
(3)(1)で求めた直線ℓとx軸との交点をB，(2)で求めた直線mとy軸との交点をCとする．図形OBACをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 福井大学 2010年 第4問

曲線C:y=ex上の点P(t,et)における接線をℓとし，ℓとx軸との交点をQとする．さらに，Qを通りℓに直交する直線とCとの交点をRとする．以下の問いに答えよ．
(1)点Qのx座標をtを用いて表せ．
(2)△PQRの外心がy軸上にあるときのtの値を求めよ．
(3)tを(2)で求めた値とするとき，直線PQ，QRとCとで囲まれる部分をx軸の周りに1回転して得られる回転体の体積を求めよ．

　国立 佐賀大学 2010年 第2問

座標平面上で，直線ℓ:y=mxに関する対称移動によって，点P(x,y)が点Q(x´,y´)に移ったとする．ただし，mは0でない定数とし，点Pはℓ上にないとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)線分PQの中点がℓ上にあることと，線分PQがℓと垂直に交わっていることを利用して
(\begin{array}{c}
x´\\
y´
\end{array})=\frac{1}{1+m2}(\begin{array}{cc}
1-m2&2m\\
2m&m2-1
\end{array})(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\・・・

　国立 お茶の水女子大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)曲線y=2x-2xの概形を描け．
(2)曲線y=2x-2xとx軸で囲まれた部分をx軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を求めよ．

　国立 群馬大学 2010年 第2問

原点のまわりの角αの回転移動fを表す行列をFとおき，0°≦β＜90°として，直線y=(tanβ)xに関する対称移動gを表す行列をGとおく．また，合成移動g\circfを表す行列をHとおく．
(1)Hを求めよ．
(2)α=α1のときのHをH1，α=α2のときのHをH2とするとき，行列の積H2H1を求めよ．
(3)nを自然数とする．α=30°,β=45°のときの(FG)nを求めよ．