「回転」について

　国立 九州工業大学 2010年 第2問

実数θ(0＜θ＜π/2)に対して行列Aを
A=(\begin{array}{rr}
cos2θ&sin2θ\
-sin2θ&cos2θ
\end{array})
とする．また，実数k(k＞0)に対して，x,yは
(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})=A(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})+(\begin{array}{c}
0\
k
\end{array})
を満たす．そして，x,y,kを用いて座標平面上の2点P(x,y)，Q(0,k)・・・

　国立 宮城教育大学 2010年 第5問

関数f(x)=∫_αx(t-α)cos(x-t)dtを考える．ただし，αは定数とする．次の問いに答えよ．
(1)xを定数とみて，u=x-tとおく．置換積分法を用いて，
∫_αx(t-α)cos(x-t)dt=∫0^{x-α}(x-α-u)cosudu
となることを示せ．
(2)導関数f´(x)を求めよ．
(3)関数f(x)を求めよ．
(4)曲線y=f(x)(α≦x≦α+2π)とx軸で囲まれた部分を，x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．
\end{・・・

　国立 豊橋技術科学大学 2010年 第2問

図に示す点Oを原点とする直交座標空間に点P(1,0,0)をとる．点Pを，xy平面内で原点Oを中心として図に示す矢印の方向に角度θ回転させた位置に点Qをとる．さらに，点Qおよびz軸を含む平面内で，点Oを中心として点Qを矢印の方向に角度θ回転させた位置に点Rをとる．ただし，角度θの範囲は0≦θ≦π/2とする．以下の問いに答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)点Rの座標・・・

　国立 東京海洋大学 2010年 第1問

座標平面上の2直線ℓ:xsinθ-ycosθ=0（ただし0°≦θ＜180°），m:y=\frac{1}{√3}xを考える．ℓ，mに関する対称移動をそれぞれf,gとする．
(1)対称移動fを表す行列を求めよ．
(2)移動の合成f\circgが原点のまわりの回転移動となることを示せ．また，その回転角をθを用いて表せ．
(3)移動の合成f\circgを表す行列とg\circfを表す行列が一致するときのθを求めよ．ただし，fとgは異なる移動とする．

　私立 早稲田大学 2010年 第4問

xyz空間において，2点P(1,0,1)，Q(-1,1,0)を考える．線分PQをx軸の周りに1回転して得られる曲面をSとする．以下の問に答えよ．
(1)曲面Sと，2つの平面x=1およびx=-1で囲まれる立体の体積を求めよ．
(2)(1)の立体の平面y=0による切り口を，平面y=0上において図示せよ．
(3)定積分∫01\sqrt{t2+1}dtの値をt=\frac{es-e^{-s}}{2}と置換することによって求めよ．
これを用いて，(2)の切り口の面積を求めよ．

　私立 北海学園大学 2010年 第4問

曲線C:y=e^{ax}(a≠0)について次の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底とする．
(1)C上の点(t,e^{at})における接線の方程式を求めよ．さらに，この接線が原点Oを通るとき，この接線をℓと表す．接線ℓの方程式を求めよ．
(2)接線ℓ，曲線Cおよびy軸で囲まれた図形Dの面積が1となるようなaの値を求めよ．
(3)図形Dをx軸のまわりに回転してできる立体の体積がπとなるようなaの値を求めよ．

　私立 北海学園大学 2010年 第3問

曲線C:y=e^{ax}(a≠0)について次の問いに答えよ．ただし，eは自然対数の底とする．
(1)C上の点(t,e^{at})における接線の方程式を求めよ．さらに，この接線が原点Oを通るとき，この接線をℓと表す．接線ℓの方程式を求めよ．
(2)接線ℓ，曲線Cおよびy軸で囲まれた図形Dの面積が1となるようなaの値を求めよ．
(3)図形Dをx軸のまわりに回転してできる立体の体積がπとなるようなaの値を求めよ．

　私立 東北学院大学 2010年 第4問

2つの曲線y=elogx，y=ax2が共有点を持ち，その共有点における接線が一致するとき以下の問いに答えよ．ただしeは自然対数の底とする．
(1)定数aの値を求めよ．
(2)この2つの曲線とx軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ．
(3)(2)の図形をy軸の周りに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ．

　私立 学習院大学 2010年 第2問

第一象限内にあって2つの曲線
y=x2-1,x2+y2+2√3y-1=0
と2つの直線
y=3,x=0
とで囲まれる図形をDとする．
(1)Dの面積を求めよ．
(2)Dをy軸に関して1回転して得られる回転体の体積を求めよ．

　私立 藤田保健衛生大学 2010年 第3問

楕円A:\frac{x2}{4}+y2=1を原点を中心に反時計回りにπ/3回転させて得た楕円をBとする．この回転により，点(-√3,1/2)を接点とするAの接線y=[]は，Bに対する接線y=[]に移される．