「回転」について

　国立 富山大学 2014年 第2問

点P0をxy平面の原点とし，点P1の座標を(1,0)とする．点P2，P3，P4，・・・を次のように定める．n=1,2,3,・・・に対して，点P_{n-1}を中心として点Pnを反時計回りにθ(0＜θ＜π)だけ回転させた点をQnとし，点P_{n+1}を\overrightarrow{P_{n-1}Qn}=\overrightarrow{PnP_{n+1}}となるようにとる．このとき，次の問いに答えよ．
(1)k=0,1,2,・・・に対して，
\vspace{2・・・

　国立 富山大学 2014年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)0≦x≦πの範囲で方程式cos2x-cosx=0の解を求めよ．
(2)0≦x≦πの範囲で2つの曲線y=cos2xとy=cosxで囲まれた図形の面積Sを求めよ．
(3)(2)の図形をx軸の周りに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ．

　国立 山梨大学 2014年 第5問

曲線Cは媒介変数t(0≦t≦2π)によって，x=t-sint，y=1-costと表される．
(1)xはtの関数として増加関数であることを示せ．
(2)0＜t＜2πのとき，dy/dxをtを用いた式で表せ．また，yのxに関する増減を調べよ．
(3)不定積分∫cos2tdtおよび∫cos3tdtを求めよ．
(4)曲線Cとx軸で囲まれた図形をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を求めよ．

　国立 九州工業大学 2014年 第4問

関数f(x)=-tanx(0≦x≦π/4)，g(x)=sin2x(0≦x≦π/4)について，次に答えよ．
(1)不定積分∫tanxdx，∫tan2xdxを求めよ．
(2)b＞0とする．曲線y=g(x)および3直線y=-b，x=0，x=π/4で囲まれた部分を直線y=-bのまわりに1回転してできる立体の体積V1をbを用いて表せ．
(3)0≦x\leq・・・

　国立 山形大学 2014年 第2問

xy平面上の曲線C:y=√xがある．曲線C上の点P(t,√t)(t＞0)における接線をℓとする．さらに，直線ℓとx軸の交点をQとする．次の問いに答えよ．
(1)接線ℓの方程式を求めよ．
(2)点Qの座標をtを用いて表せ．
(3)点Pからx軸に下ろした垂線をPRとするとき，△PQRをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積をtを用いて表せ．
(4)曲線C，直線ℓおよびx軸で囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してでき・・・

　国立 山形大学 2014年 第2問

以下の問いに答えよ．
(1)連立不等式x2+y2≦25,y≧4を満たす領域をy軸の周りに一回転させてできる立体の体積を求めよ．
(2)連立不等式x2+y2\leq25,x≧4,y≧0を満たす領域をy軸の周りに一回転させてできる立体の体積を求めよ．
(3)連立不等式x2+y2≦25,0≦x≦4,0≦y≦4を満たす領域の面積を求めよ．ただし，sinθ0=3/5を満たす角θ0(0＜θ0＜π/2)を使用・・・

　国立 香川大学 2014年 第3問

自然数nに対して，座標平面上の点Pnを次のように帰納的に定める．点P1の座標を(1,1)とし，原点Oを中心として線分OPnを反時計回りに{90}°回転させてできる線分をOQnとし，線分OQnの中点をP_{n+1}とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点P2，P3，P4，P5の座標を求めよ．
(2)kを自然数とするとき，点P_{4k+1}の座標をkを用いて表せ．
(3)点Xnを
ベクトルOXn=ベクトルOP1+\vect・・・

　国立 香川大学 2014年 第3問

自然数nに対して，座標平面上の点Pnを次のように帰納的に定める．点P1の座標を(1,1)とし，原点Oを中心として線分OPnを反時計回りに{90}°回転させてできる線分をOQnとし，線分OQnの中点をP_{n+1}とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点P2，P3，P4，P5の座標を求めよ．
(2)kを自然数とするとき，点P_{4k+1}の座標をkを用いて表せ．
(3)点Xnを
ベクトルOXn=ベクトルOP1+\vect・・・

　国立 香川大学 2014年 第3問

自然数nに対して，座標平面上の点Pnを次のように帰納的に定める．点P1の座標を(1,1)とし，原点Oを中心として線分OPnを反時計回りに{90}°回転させてできる線分をOQnとし，線分OQnの中点をP_{n+1}とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)点P2，P3，P4，P5の座標を求めよ．
(2)kを自然数とするとき，点P_{4k+1}の座標をkを用いて表せ．
(3)点Xnを
ベクトルOXn=ベクトルOP1+\vect・・・

　国立 群馬大学 2014年 第4問

曲線y=logx上の点P(1,0)における接線とy軸の交点をQとする．Qを通りx軸に平行な直線と曲線y=logxの交点をRとする．ここで，対数は自然対数である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点Rの座標を求めよ．
(2)線分PRと曲線y=logxで囲まれた図形をx軸の周りに1回転してできる立体の体積Vを求めよ．