「回転」について

　国立 群馬大学 2014年 第3問

曲線y=logx上の点P(1,0)における接線とy軸の交点をQとする．Qを通りx軸に平行な直線と曲線y=logxの交点をRとする．ここで，対数は自然対数である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点Rの座標を求めよ．
(2)線分PRと曲線y=logxで囲まれた図形をx軸の周りに1回転してできる立体の体積Vを求めよ．

　国立 群馬大学 2014年 第5問

座標平面上の曲線Cは媒介変数t(t≧0)を用いてx=t2+2t+log(t+1)，y=t2+2t-log(t+1)と表される．C上の点P(a,b)におけるCの接線の傾きが\frac{2e-1}{2e+1}であるとする．ただし，eは自然対数の底である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)aとbの値を求めよ．
(2)Qを座標(b,a)の点とする．直線PQ，直線y=xと曲線Cで囲まれた図形を，直線y=xの周りに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 高知大学 2014年 第3問

関数f(x)を
f(x)={\begin{array}{ll}
1/2(x+1)x&(-1≦x≦0　のとき　)\
-1/2x(x-1)&(0＜x≦1　のとき　)\phantom{\frac{[]}{2}}
\end{array}.
とおくとき，次の問いに答えよ．
(1)f(x)はx=0で微分可能であることを示せ．
(2)関数y=f(x)のグラフをかけ．
(3)y=f´(x)のグラフを-1＜x＜1の範囲でかき，f´(x)がx=0で微分可能かどうかを理由をつけて述べよ．
(4)y=f(x)のグラフとx軸・・・

　国立 福井大学 2014年 第3問

関数f(x)=\frac{x}{\sqrt{x2+1}}について，以下の問いに答えよ．
(1)関数f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(2)曲線y=f(x)上の点(t,f(t))における接線が点(0,\frac{1}{2√2})を通るようなtの値を求めよ．
(3)tを(2)で求めた値とする．曲線y=f(x)とx軸および直線x=tによって囲まれた図形をx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ．

　国立 山形大学 2014年 第3問

関数f(x)をf(x)=∫0^{π/2}|x-2t|sintdtで定める（0≦x≦π）．次の問に答えよ．
(1)次の不定積分を求めよ．ただし，a＞0とする．
∫tsinatdt,∫sin2t/2dt
(2)f(x)の最小値を求め，そのときのxの値を求めよ．
(3)曲線y=f(x)-f(0)とx軸および直線x=πで囲まれた図形をx軸のまわりに回転して得られる回転体の体積Vを求めよ．

　国立 島根大学 2014年 第3問

点(0,5)を通る直線ℓと楕円C:\frac{x2}{4}+\frac{y2}{9}=1を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)楕円Cと共有点をもつ直線ℓの方程式をすべて求めよ．
(2)楕円Cと直線ℓが接するとき，その接点の座標を求めよ．
(3)楕円Cと直線ℓが第一象限で接するとき，Cとℓおよびy軸で囲まれた図形をy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積Vを求めよ．

　国立 お茶の水女子大学 2014年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)0≦x≦π/2において
2/πx≦sinx≦x
が成り立つことを示せ．
(2)0≦x≦π/2において，D1を曲線y=sinxと2直線y=x，x=π/2で囲まれた図形とし，D2を曲線y=sinxと直線y=2/πxで囲まれた図形とする．D1，D2の面積を求め，どちらの面積が大きいか調べよ．
(3)D2をx軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積・・・

　国立 お茶の水女子大学 2014年 第2問

次の問いに答えよ．
(1)0≦x≦π/2において
2/πx≦sinx≦x
が成り立つことを示せ．
(2)0≦x≦π/2において，D1を曲線y=sinxと2直線y=x，x=π/2で囲まれた図形とし，D2を曲線y=sinxと直線y=2/πxで囲まれた図形とする．D1，D2の面積を求め，どちらの面積が大きいか調べよ．
(3)D2をx軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積・・・

　国立 電気通信大学 2014年 第2問

2つの関数
f(x)=x\sqrt{4-x2}(0≦x≦2),g(y)=\sqrt{4-y2}(0≦y≦2)
を考える．座標平面上において，曲線y=f(x)をC1とし，曲線x=g(y)をC2とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)C1とC2との共有点の座標を求めよ．
(2)関数f(x)の最大値Mを求めよ．
(3)C1とx軸とで囲まれた図形の面積Sを求めよ．
(4)点(x,y)がC1上にあるとき，x2をyを用いて表せ．
(5)y軸および2曲線C1，C2で囲まれた図形を，y軸の周りに1・・・

　国立 長崎大学 2014年 第4問

区間0≦x≦πにおいて，関数f(x)と関数g(x)を
f(x)=1/2cosx,g(x)=cosx/2+c
と定義する．cは定数である．次の問いに答えよ．
(1)区間0≦x≦πにおいて，2曲線y=f(x)とy=g(x)がx=0以外の点で接するようにcの値を定め，接点(p,q)を求めよ．また，そのとき，区間0≦x≦πにおける関数f(x)と関数g(x)の大小関係を調べよ．
(2)定数cと接点(p,q)は(1)で求めたものとする．そのとき，区間0≦x≦pにおいて・・・