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xy平面において,原点Oを中心とする半径4の円Cの内側を半径1の円C´が内接しながら滑ることなく転がるとき,円C´上の点Pが描く曲線をXとする.ただし,点Pのはじめの位置は点P0(4,0)とする.円C´の中心O´が原点Oの周りをθだけ回転したときの点Pの座標を(x,y)とするとき,次の問いに答えよ.
(1)\overrightarrow{OO´}の成分をθを用いて表せ.
(2)x,yをθを用いて表せ.
\m・・・
公立 岐阜薬科大学 2014年 第6問曲線y=log(kx)をCとする.曲線C,原点Oを通る曲線Cの接線ℓ,x軸とで囲まれた図形をDとするとき,次の問いに答えよ.ただし,kは正の定数とする.
(1)接線ℓの方程式を求めよ.
(2)Dをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vxを求めよ.
(3)Dをy軸のまわりに1回転してできる立体の体積Vyを求めよ.
(4)Vx=Vyとなるkの値を求めよ.
公立 福島県立医科大学 2014年 第3問aを定数とする.関数f(x)=\frac{1-acosx}{1+sinx}(0≦x≦π)について,以下の問いに答えよ.
(1)t=\frac{-cosx}{1+sinx}(0<x<π)とおくとき,dx/dtをtで表せ.
(2)f(x)が0<x<πの範囲で極値をもつようにaの値の範囲を定めよ.また,その極値をaで表せ.
(3)aが(2)で定めた範囲にあるとき,2点(0,f(0)),(π,f(π))を通る直線とy=f(x)のグラフで囲まれる図形をx軸の周りに回転してできる回転・・・
公立 名古屋市立大学 2014年 第1問xy平面上に動点P(t,2t),Q(t-1,1-t)がある.ただし,0≦t≦1とする.次の問いに答えよ.
(1)実数kに対して直線x=kと直線PQとの交点を求めよ.
(2)閉区間[-1,1]内の定数aに対し,直線x=aと線分PQとの交点のy座標のとり得る範囲をaで表せ.
(3)tが0から1まで動くとき,線分PQが動く領域Sの面積を求めよ.
(4)Sをx軸の周りに1回転させた回転体の体積を求めよ.
公立 京都府立大学 2014年 第3問区間-1≦x≦1で定義された連続関数f(x)を
12xf(x)+12∫0xf(t)dt=15x3|x|-16x3,f(0)=0
によって定める.曲線C:y=f(x)を考える.以下の問いに答えよ.
(1)f(x)を求めよ.
(2)f(x)はx=0で微分可能であることを示せ.
(3)曲線Cと直線ℓ:y=aとの区間-1≦x≦1における共有点の個数を,aの値によって分類せよ.
(4)曲線Cと3直線y=-1,x=-1,x=1で囲まれる部分を,x軸の周りに1回転させてできる立体の体積を求めよ.
国立 横浜国立大学 2013年 第3問0<θ<π/3を満たすθに対し,xy平面の第1象限の点Pおよびx軸の正の部分にある点Qを
∠QOP=θ,∠PQO=2θ,PQ=1
を満たすようにとる.PQの中点をRとする.θが0<θ<π/3の範囲を動くとき,Pの軌跡をC1,Rの軌跡をC2とする.次の問いに答えよ.
(1)P,Q,Rの座標をθを用いて表せ.
(2)C1,C2・・・
国立 北海道大学 2013年 第2問座標平面上で,直線y=xに関する対称移動をfとし,実数cに対して,直線y=cxに関する対称移動をgとする.また,原点を中心とする120°の回転移動をhとする.
(1)fを表す行列,およびhを表す行列を求めよ.
(2)gを表す行列を求めよ.
(3)合成変換f\circgがhになるようにcの値を定めよ.
国立 埼玉大学 2013年 第4問xyz空間における平面y=0上のグラフz=2-x2,(0≦x≦√2)をz軸の周りに回転して得られるものを平面x=aで切りとる.ただし0≦a≦√2とする.そのとき切り口の平面に曲線Gが現れた.G上の点(x,y,z)は,
x=a,z=2-a2-y2(-\sqrt{2-a2}≦y≦\sqrt{2-a2})
をみたす.切り口の平面x=a上において点(a,0,0)と曲線G上の点の距離の最大値をr(a)とする.このとき下記の設問に答えよ.
(1)0≦a≦√2に対してr(a)を・・・
国立 大阪大学 2013年 第4問xyz空間内の3点O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0)を頂点とする三角形OABをx軸のまわりに1回転させてできる円すいをVとする.円すいVをy軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ.
国立 九州大学 2013年 第4問原点Oを中心とし,点A(0,1)を通る円をSとする.点B(1/2,\frac{√3}{2})で円Sに内接する円Tが,点Cでy軸に接しているとき,以下の問いに答えよ.
(1)円Tの中心Dの座標と半径を求めよ.
(2)点Dを通りx軸に平行な直線をℓとする.円Sの短い方の弧\koa{AB},円Tの短い方の弧\koa{BC},および線分ACで囲まれた図形をℓのまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ.