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実数の定数a,bに対して,関数f(x)を
f(x)=\frac{ax+b}{x2+x+1}
で定める.すべての実数xで不等式
f(x)≦f(x)3-2f(x)2+2
が成り立つような点(a,b)の範囲を図示せよ.
国立 一橋大学 2014年 第3問円C:x2+y2=1上の点Pにおける接線をℓとする.点(1,0)を通りℓと平行な直線をmとする.直線mと円Cの(1,0)以外の共有点をP´とする.ただし,mが直線x=1のときはP´を(1,0)とする.
円C上の点P(s,t)から点P´(s´,t´)を得る上記の操作をTと呼ぶ.
(1)s´,t´をそれぞれsとtの多項式として表せ.
(2)点Pに操作Tをn回繰り返して得られる点を\・・・
国立 名古屋大学 2014年 第2問実数tに対して2点P(t,t2),Q(t+1,(t+1)2)を考える.tが-1≦t≦0の範囲を動くとき,線分PQが通過してできる図形を図示し,その面積を求めよ.
国立 名古屋大学 2014年 第3問実数tに対して2点P(t,t2),Q(t+1,(t+1)2)を考える.
(1)2点P,Qを通る直線ℓの方程式を求めよ.
(2)aは定数とし,直線x=aとℓの交点のy座標をtの関数と考えてf(t)とおく.tが-1≦t≦0の範囲を動くときのf(t)の最大値をaを用いて表せ.
(3)tが-1≦t≦0の範囲を動くとき,線分PQが通過してできる図形を図示し,その面積を求めよ.
国立 神戸大学 2014年 第5問a,bを正の実数とし,xy平面上に3点O(0,0),A(a,0),B(a,b)をとる.三角形OABを,原点Oを中心に90°回転するとき,三角形OABが通過してできる図形をDとする.このとき,以下の問に答えよ.
(1)Dをxy平面上に図示せよ.
(2)Dをx軸のまわりに1回転してできる回転体の体積Vを求めよ.
(3)a+b=1のとき,(2)で求めたVの最小値と,そのときのaの値を求めよ.
国立 岡山大学 2014年 第2問次の問いに答えよ.
(1)すべての実数x,yに対してx2+y2+2axy+2bx+1≧0が成り立つとする.このとき,実数a,bが満たすべき条件を求め,その条件を満たす点(a,b)のなす領域を座標平面上に図示せよ.
(2)(1)の領域を点(a,b)が動くときa2+bの最大値と最小値を求めよ.
国立 東北大学 2014年 第1問x=t+1/3t(0<t≦1/2)とする.
(1)xのとり得る値の範囲を求めよ.
(2)xの方程式x2+ax+b=0が(1)の範囲に少なくとも1つの解をもつような点(a,b)の存在範囲を図示せよ.
国立 筑波大学 2014年 第1問f(x)=x3-xとする.y=f(x)のグラフに点P(a,b)から引いた接線は3本あるとする.3つの接点A(α,f(α)),B(β,f(β)),C(γ,f(γ))を頂点とする三角形の重心をGとする.
(1)α+β+γ,αβ+βγ+γαおよびαβγをa,bを用いて表せ.
(2)点Gの座標をa,bを用いて表せ.
(3)点Gのx座標が正で,y座標が負となるような点Pの範囲を図示せよ.
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国立 筑波大学 2014年 第6問xy平面上に楕円
C1:\frac{x2}{a2}+\frac{y2}{9}=1(a>\sqrt{13})
および双曲線
C2:\frac{x2}{4}-\frac{y2}{b2}=1(b>0)
があり,C1とC2は同一の焦点をもつとする.またC1とC2の交点
P(2\sqrt{1+\frac{t2}{b2}},t)(t>0)
におけるC1,C2の接線をそれぞれℓ1,ℓ2とする.
(1)aとbの間に成り立つ関係式を求め,点Pの座標をaを用いて表せ.
(2)ℓ1とℓ2が直交することを示せ.
(3)aがa>\・・・
国立 信州大学 2014年 第2問実数a,bは,-1<x<1に対して-3<x2-2ax+b<5を満たすものとする.ただし,a>0とする.このとき,次の問に答えよ.
(1)点(a,b)が表す領域を図示せよ.
(2)座標平面上で,直線x=0,直線x=1,直線y=-3,曲線y=x2-2ax+bで囲まれる図形の面積Sをa,bを用いて表せ.
(3)(2)のSの取りうる値の範囲を求めよ.