「垂心」について

　国立 東北大学 2015年 第5問

t＞0を実数とする．座標平面において，3点A(-2,0)，B(2,0)，P(t,√3t)を頂点とする三角形ABPを考える．
(1)三角形ABPが鋭角三角形となるようなtの範囲を求めよ．
(2)三角形ABPの垂心の座標を求めよ．
(3)辺AB，BP，PAの中点をそれぞれM，Q，Rとおく．tが(1)で求めた範囲を動くとき，三角形ABPを線分MQ，QR，RMで折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，その・・・

　国立 東北大学 2015年 第2問

t＞0を実数とする．座標平面において，3点A(-2,0)，B(2,0)，P(t,√3t)を頂点とする三角形ABPを考える．
(1)三角形ABPが鋭角三角形となるようなtの範囲を求めよ．
(2)三角形ABPの垂心の座標を求めよ．
(3)辺AB，BP，PAの中点をそれぞれM，Q，Rとおく．tが(1)で求めた範囲を動くとき，三角形ABPを線分MQ，QR，RMで折り曲げてできる四面体の体積の最大値と，その・・・

　私立 早稲田大学 2014年 第2問

x-y平面の双曲線y=1/x上の相異なる3点を，A，B，Cとし，そのx座標を，それぞれ，a,b,cとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)空欄にあてはまる数式を求め，答のみ解答欄に記入せよ．
直線ABに垂直な直線の傾きは[ア]である．△ABCの垂心をHとするとき，Hのx,y座標をa,b,cを用いて表すと，x=[イ]，y=[ウ]である．よって，A，B，C・・・

　私立 早稲田大学 2014年 第5問

角Aが鈍角の三角形ABCにおいてAB=2，AC=3であり，三角形ABCの面積は2√2である．このとき，三角形ABCの垂心をHとすると
ベクトルAH=\frac{[ナ]ベクトルAB+[ニ]ベクトルAC}{[ヌ]}
である．

　私立 杏林大学 2014年 第3問

[ケ]，[ヌ]，[ネ]の解答は解答群の中から最も適当なものを1つ選べ．
3点A，B，Cがそれぞれx軸，y軸，z軸上にあり，原点Oを頂点に持つ3つの三角形OAB，OBC，OCAの面積の比が1:√3:√5となっている．三角形ABCを含む平面をαとする．
(1)平面α上にある点Pの位置ベクトルをベクトルOP=sベクトルOA+tベクトルOB+uベクトルOCと表わすと，s+t+u=[ア]が成り・・・

　国立 鹿児島大学 2013年 第3問

次の各問いに答えよ．
(1)三角形ABCの垂心をHとする．次の等式が成り立つことを示せ．
ベクトルHA・ベクトルHB=ベクトルHB・ベクトルHC=ベクトルHC・ベクトルHA
ただし，三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした3本の垂線は1点で交わる．この点を三角形の垂心という．
(2)次の(i),(ii)に答えよ．
(i)自然数nに対して自然数anを次のように定義する．
an=(2n-1)・(2n-3)・・・・・3・1・・・

　国立 筑波大学 2012年 第4問

四面体OABCにおいて，次が満たされているとする．
ベクトルOA・ベクトルOB=ベクトルOB・ベクトルOC=ベクトルOC・ベクトルOA
点A，B，Cを通る平面をαとする．点Oを通り平面αと直交する直線と，平面αとの交点をHとする．
(1)ベクトルOAとベクトルBCは垂直であることを示せ．
(2)点Hは△ABCの垂心であること，すなわちベクトルAH⊥ベクトルBC,ベクトルBH⊥ベクトルCA,ベクトルCH⊥ベクトルAB・・・

　国立 大分大学 2012年 第2問

三角形OABでベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,|ベクトルa|=|ベクトルb|=1,∠　AOB　=π/6とする．このとき次の問いに答えよ．
(1)三角形OABの外接円の中心(外心)Qの位置ベクトルベクトルOQをベクトルaとベクトルbで表せ．
(2)頂点OとAからそれぞれの対辺ABとOBに下ろした垂線の交点(垂心)をHとするとき，ベクトルOHをベクトルaとベクトルbで表せ．
(3)|ベクトルAB|の値を求めよ．
(4)三角形OABの内接円の中心(内心)Pの位置ベクトルベクトルOPを・・・

　公立 名古屋市立大学 2012年 第4問

xy平面上において，原点Oを中心とする正六角形ABCDEFの3つの頂点の座標が，A(0,2)，B(√3,1)，C(√3,-1)であるとき，次の問いに答えよ．
(1)辺CDの中点をL，線分ALの中点をMとし，直線FMと辺BCの交点をNとする．FM:MN，BN:NCの比の値をそれぞれ求めよ．
(2)|ベクトルBP+ベクトルFP|=|ベクトルBF|を満たす点Pの描く図形の方程式を求めよ．
(3)BF上の・・・