「垂直」について

　国立 埼玉大学 2012年 第3問

xy平面上に曲線C:y=x2-xと直線ℓ:y=xがある．
(1)ℓ上の点P(\frac{t}{√2},\frac{t}{√2})(0≦t≦2√2)を通り，ℓと垂直な直線をmとする．mとCの共有点のうち，x座標が0以上のものをQとする．Qの座標を求めよ．
(2)0≦t≦2√2のとき，線分PQの長さの最大値とそのときのtを求めよ．
(3)Cとℓで囲まれた部分をℓを軸として1回転してできる立体の体積を求めよ．
\・・・

　国立 広島大学 2012年 第4問

0＜θ＜π/2とする．原点Oを中心とする単位円周上の異なる3点A，B，Cが条件
(cosθ)ベクトルOA+(sinθ)ベクトルOB+ベクトルOC=ベクトル0
を満たすとする．次の問いに答えよ．
(1)2つのベクトルベクトルOA,ベクトルOBは垂直であることを証明せよ．
(2)|ベクトルCA|,|ベクトルCB|をθを用いて表せ．
(3)三角形ABCの周の長さ　AB　+　BC　+　CA　を最大にするθを求めよ．

　国立 筑波大学 2012年 第2問

曲線C:y=\frac{1}{x+2}(x＞-2)を考える．曲線C上の点P1(0,1/2)における接線をℓ1とし，ℓ1とx軸との交点をQ1，点Q1を通りx軸と垂直な直線と曲線Cとの交点をP2とおく．以下同様に，自然数n(n≧2)に対して，点Pnにおける接線をℓnとし，ℓnとx軸との交点をQn，点Qnを通りx軸と垂直な直線と曲線Cとの交点をP_{n+1}とおく．
(1)ℓ1の方程式を求めよ．
(2)Pnのx座標をxn(n≧1)とする．・・・

　国立 筑波大学 2012年 第4問

四面体OABCにおいて，次が満たされているとする．
ベクトルOA・ベクトルOB=ベクトルOB・ベクトルOC=ベクトルOC・ベクトルOA
点A，B，Cを通る平面をαとする．点Oを通り平面αと直交する直線と，平面αとの交点をHとする．
(1)ベクトルOAとベクトルBCは垂直であることを示せ．
(2)点Hは△ABCの垂心であること，すなわちベクトルAH⊥ベクトルBC,ベクトルBH⊥ベクトルCA,ベクトルCH⊥ベクトルAB・・・

　国立 九州工業大学 2012年 第2問

四面体OABCは　OA　=1,　OB　=\sqrt{15},　OC　=2,∠　AOB　=π/2,∠　AOC　=π/3を満たしている．線分OAとOBをs:1-s(0＜s＜1)に内分する点をそれぞれP，Qとし，△CPQの重心をGとする．ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルc,∠　BOC　=θ(0＜θ＜π)として，次に答えよ．
(1)ベクトルベクトルOGをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcとsを用いて表せ．
(2)ベクトル\vec・・・

　国立 佐賀大学 2012年 第1問

座標空間内で，原点O，A(1,0,0)，B(b1,b2,0)，C(c1,c2,c3)を頂点とする正四面体を考える．ただし，b2とc3は正とする．次の問いに答えよ．
(1)b1,b2およびc1,c2,c3を求めよ．
(2)ベクトルOAとベクトルBCは垂直であることを示せ．
(3)Pは直線BC上の点で，ベクトルOPとベクトルBCは垂直であるとする．Pの座標を求めよ．またベクトルAPとベクトルBCは垂直であることを示せ．

　国立 佐賀大学 2012年 第1問

座標空間内で，原点O，A(1,0,0)，B(b1,b2,0)，C(c1,c2,c3)を頂点とする正四面体を考える．ただし，b2とc3は正とする．次の問いに答えよ．
(1)b1,b2およびc1,c2,c3を求めよ．
(2)ベクトルOAとベクトルBCは垂直であることを示せ．
(3)Pは直線BC上の点で，ベクトルOPとベクトルBCは垂直であるとする．Pの座標を求めよ．またベクトルAPとベクトルBCは垂直であることを示せ．

　国立 佐賀大学 2012年 第6問

a＞0のとき，放物線C:y=x2上の点P(a,a2)におけるCの接線をℓ1とし，Pを通りℓ1と垂直な直線をℓ2とする．次の問いに答えよ．
(1)直線ℓ2と放物線Cとの交点のうち，点Pと異なる方をQとする．点Qの座標をaの式で表せ．
(2)放物線Cと直線ℓ2とで囲まれた部分の面積をSとする．Sをaの式で表せ．
(3)(2)のSの最小値を求めよ．またそのときのaの値を求めよ．

　国立 九州工業大学 2012年 第1問

関数f(x)=kx3-3kx(k＞0)が表す座標平面上の曲線をC:y=f(x)とする．曲線C上の2点P(p,f(p))，Q(ap,f(ap))における接線をそれぞれℓ1,ℓ2とする．ただし，p＞0,a≠1とする．以下の問いに答えよ．
(1)点Pにおける接線ℓ1の方程式をk,pを用いて表せ．
(2)点Qにおける接線ℓ2が点Pを通るとき，aの値を求めよ．
(3)あるkに対して2つの接線ℓ1,ℓ2が点Pにおいて垂直に交わっているとき，kをpを用いて表せ．また，そのようなkが存在するpの値の範囲を求・・・

　国立 新潟大学 2012年 第3問

四面体OABCにおいて，OA⊥OB,OA=3,OB=4,OC=5とする．△OABの重心をGとし，直線CGは△OABを含む平面に垂直とする．ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとおく．次の問いに答えよ．
(1)ベクトルCGをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ．
(2)内積ベクトルa・ベクトルcおよびベクトルb・ベクトルcを求めよ．
(3)四面体OABCの体・・・