「垂直」について

　国立 京都工芸繊維大学 2012年 第2問

xyz空間内に四面体PABCがある．△ABCはxy平面内にある鋭角三角形とし，頂点Pのz座標は正とする．Pからxy平面に下ろした垂線をPHとし，Hは△ABCの内部にあるとする．Hから直線AB，BC，CAに下ろした垂線をそれぞれHK1，HK2，HK3とする．そのときPK1⊥AB，PK2⊥BC，PK3⊥CAである．∠PK1H=α1，∠\te・・・

　国立 宮城教育大学 2012年 第4問

座標空間内の3点O(0,0,0)，A(1,2,1)，B(-1,1,2)を含む平面をαとする．またtを実数として，P(1,0,-t)とする．このとき次の問いに答えよ．
(1)ベクトルOAとベクトルOBのなす角θ(0°≦θ≦180°)を求めよ．
(2)点Pが平面α上にあるとき，tの値を求めよ．
(3)点Pが平面α上にないとき，点Pを通り平面αに垂直な直線と平面αとの交点をQとする．点Qの座・・・

　国立 滋賀医科大学 2012年 第1問

xyz空間内のベクトル0でないベクトルベクトルp=(x,y,z)を考え，ベクトルp´=\frac{ベクトルp}{|ベクトルp|}とおく．
(1)ベクトルp´の大きさを求めよ．
(2)ベクトルpとx軸，y軸，z軸の正の向きとのなす角をそれぞれα,β,γとおくとき，ベクトルp´=(cosα,cosβ,cosγ)を示せ．
(3)ベクトルp=(3,4,12)とする．頂点O(0,0,0)，A(a1,a2,a3)，B(b1,b2,b3)の\triang・・・

　国立 山口大学 2012年 第1問

xy平面上に点A(-1,0)と，原点を中心とする半径1の円Cを考える．C上の点Pを通りx軸に垂直な直線をℓとし，ℓとx軸の交点をQとする．このとき，次の問いに答えなさい．
(1)Pのx座標をaとするとき，f(a)=AQ+PQをaを用いて表しなさい．
(2)(1)で求めた関数f(a)の-1≦a≦1における最大値を求めなさい．

　国立 金沢大学 2012年 第2問

直線ℓ:(x,y,z)=(5,0,0)+s(1,-1,0)上に点P0，直線m:(x,y,z)=(0,0,2)+t(1,0,2)上に点Q0があり，\overrightarrow{P0Q0}はベクトル(1,-1,0)と(1,0,2)の両方に垂直である．次の問いに答えよ．
(1)P0,Q0の座標を求めよ．
(2)|\overrightarrow{P0Q0}|を求めよ．
(3)直線ℓ上の点P，直線m上の点Qについて，ベクトルPQをベクトルPP0，ベクトルP0Q0，ベクトルQ0Qで表せ．また・・・

　国立 愛媛大学 2012年 第4問

図のような1辺の長さを1とする立方体ABCD-EFGHを考える．\\
線分AHと線分EDの交点をKとする．さらに，辺CGを3:1\\
に内分する点をLとし，辺EFをp:1-pに内分する点をMと\\
する．ただし，0＜p＜1である．また，ベクトルa=ベクトルEF，ベクトルb=ベクトルEH，\\
ベクトルc=ベクトルEAとおく．
\img{669287220121}{38}
(1)ベクトルKLおよびベクトルKMをそれぞれベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ．
(2)・・・

　私立 慶應義塾大学 2012年 第4問

ABCDEを1辺の長さが1の正方形ABCDを底面とし，4個の正三角形を側面とする正四角錐とする．
（プレビューでは図は省略します）
(1)△CDEの重心をGとする．ベクトルベクトルAGをベクトルAB,ベクトルAD,ベクトルAEで表すと，ベクトルAG=[セ]となる．
(2)ベクトル0でないベクトルベクトルpが平面α上の任意のベクトルと垂直なとき，ベクトルpは平面αと垂直であるという．ベクトルp=aベクトルAB+bベクトルAD+cベクトルAE(a,b,c\text{・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第3問

原点をOとする座標平面上に2点A，Bがあり，2つのベクトルベクトルOA,ベクトルOBが
|ベクトルOA|=2√3,|ベクトルOB|=\sqrt{15},ベクトルOA・ベクトルOB=8
を満たしているとする．ここで，|ベクトルOA|,|ベクトルOB|はそれぞれベクトルOA,ベクトルOBの大きさを表し，ベクトルOA・ベクトルOBはベクトルOAとベクトルOBの内積を表すものとする．
(1)ベクトルOAとベクトルOBのなす角をθとおくと
cosθ=\frac{[ア]}{[イウ]・・・

　私立 東京慈恵会医科大学 2012年 第3問

nを3以上の整数とする．xyz空間の平面z=0上に，1辺の長さが4の正n角形Pがあり，Pの外接円の中心をGとおく．半径1の球Bの中心がPの辺に沿って1周するとき，Bが通過してできる立体をKnとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)Pの隣り合う2つの頂点P1，P2をとる．Gから辺P1P2に下ろした垂線とP1P2との交点をQとするとき，GQ＞1となることを示せ．
(2)次の各問に答えよ．
\mon[・・・

　私立 立教大学 2012年 第1問

次の空欄ア～ケに当てはまる数または式を記入せよ．
(1)√2\div\sqrt[4]{4}×\sqrt[12]{32}\div\sqrt[6]{2}=2aとするとa=[ア]である．
(2)座標空間に4点O(0,0,0)，A(3,2,1)，B(1,3,5)，C(x,y,z)がある．ベクトルベクトルOCは，ベクトルベクトルOAおよびベクトルベクトルOBと垂直である．このとき，(x,y,z)=[イ]である．ただし，x＞0，|ベクトルOC|=1とする．
(3)iを虚数単位として，複素数x=√3+√7iを考・・・