「垂線」について

　国立 福井大学 2013年 第1問

四面体OABCの各辺の長さをOA=2，OB=√5，OC=√7，AB=√3，BC=2，CA=√5とする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルb，ベクトルb・ベクトルc，ベクトルc・ベクトルaを求めよ．
(2)三角形OABを含む平面をαとし，点Cから平面αに下ろした垂線とαとの交点をHとする・・・

　国立 島根大学 2013年 第4問

空間における3点A(1,1,-1)，B(3,2,1)，C(-1,3,0)を通る平面をαとするとき，次の問いに答えよ．
(1)△ABCは直角二等辺三角形であることを示せ．
(2)原点Oから平面αに垂線を下ろし，その交点をHとするとき，点Hの座標を求めよ．
(3)四面体OABCに外接する球の中心の座標を求めよ．

　国立 大分大学 2013年 第3問

△OABにおいて，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，|ベクトルa|=√3，|ベクトルb|=√2，ベクトルa・ベクトルb=tとする．点Aから直線OBに垂線APを下ろし，点Bから直線OAに垂線BQを下ろし，直線APと直線BQの交点をRとする．
(1)tの範囲を求めなさい．
(2)ベクトルOPをtとベクトルbで，ベクトルOQをtとベクトルaで表しなさい．
(3)t=1のとき，ベクトルORを\vectit{a・・・

　国立 大分大学 2013年 第2問

△OABにおいて，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，|ベクトルa|=√3，|ベクトルb|=√2，ベクトルa・ベクトルb=tとする．点Aから直線OBに垂線APを下ろし，点Bから直線OAに垂線BQを下ろし，直線APと直線BQの交点をRとする．
(1)tの範囲を求めなさい．
(2)ベクトルOPをtとベクトルbで，ベクトルOQをtとベクトルaで表しなさい．
(3)t=1のとき，ベクトルORを\vectit{a・・・

　私立 南山大学 2013年 第1問

[]の中に答を入れよ．
(1)xの整式x3+3mx2+2(m2-1)x-4が(x+2)2で割り切れるとする．このとき，mの値はm=[ア]であり，商は[イ]である．
(2)行列A=(\begin{array}{cc}
x+1&2\
-5&y-2
\end{array})がある．A2=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array})を満たすとき，xとyの値を求めると(x,y)=[ウ]である．また，Aが逆行列をもたないような2つの正の整数xとyの値を求めると(x,y)=[エ]で・・・

　私立 南山大学 2013年 第2問

原点をOとする座標空間に3点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)がある．
(1)△ABCの面積を求めよ．
(2)A，B，Cの定める平面をαとする．Oからαに下ろした垂線とαとの交点をHとするとき，
ベクトルAH=sベクトルAB+tベクトルAC
を満たすような実数s,tの値を求めよ．また，Hの座標を求めよ．
(3)四面体OABCに内接する球の半径rを求めよ．

　私立 名城大学 2013年 第2問

空間の3点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)を通る平面をαとし，原点Oから平面αに垂線OHを下ろす．
(1)四面体OABCの体積を求めよ．
(2)ベクトルAHをベクトルABとベクトルACを用いて表し，点Hの座標を求めよ．
(3)△ABCの面積を求めよ．

　私立 西南学院大学 2013年 第2問

三角形ABCにおいてAB=√6，AC=2√3，BC=3+√3である．AからBCに垂線を下ろし，垂線の足をHとする．このとき，
AH=\sqrt{[サ]},∠BAC=[シスセ]°
である．さらに，点Aが三角形DBCの内接円の中心となるように点Dをとる．このとき，
AD2=[ソタ]+[チツ]\sqrt{[テ]}
である．

　私立 日本女子大学 2013年 第3問

平面上で点Pから直線ℓに引いた垂線とℓとの交点を，点Pから直線ℓに下ろした垂線の足という．
(1)点P(p,q)から直線ax+by+c=0に下ろした垂線の足の座標を求めよ．
(2)3点A(5,0)，B(4,3)，C(3,4)を考える．2点A，Bを通る直線をℓ1，2点B，Cを通る直線をℓ2，2点A，Cを通る直線をℓ3とする．点P(p,q)からℓ1，ℓ2，ℓ3へ下ろした垂線の足をそれ・・・

　私立 昭和大学 2013年 第8問

△ABCは∠ABC=90°の直角二等辺三角形であり，辺BCの中点をDとする．辺AC上に点E，辺AB上に点Fがあり，DE=3，EF=4，∠DEF=90°である．EからBCに下した垂線の足をHとし，∠EDC=θ，BD=xとするとき，以下の各問に答えよ．
(1)∠AFEをθを用いて表せ．
(2)EHの長さをsinθの簡単な式で表せ．
(3)CEの・・・