「垂線」について

　私立 近畿大学 2013年 第2問

1辺の長さが1の正四面体OABCがある．辺OAを1:2の比に内分する点をP，辺OBの中点をQ，Rを辺OC上の点とするとき，
(1)線分PQの長さを求めよ．
(2)三角形PQCの面積を求めよ．
(3)Rが辺OC上を動くとき，三角形PQRの面積の最小値を求めよ．
(4)頂点Oから三角形PQRを含む平面に垂線OHを引く．点Hが三角形PQRの内部にあるとき，OR=rの取りうる値の範囲を求めよ．・・・

　私立 早稲田大学 2013年 第5問

空間内に平面Pがある．空間内の図形Aに対し，Aの各点からPに下ろした垂線とPとの交点の全体を，AのPへの正射影とよぶ．次の問に答えよ．
(1)平面Qが平面Pと角θ(0＜θ＜π/2)で交わっているとする．すなわち，PとQの交線に垂直な平面でP,Qを切ってできる2直線のなす角がθであるとする．Q上の長さ1の線分のPへの正射影の長さの最大値と最小値を求めよ．
(2)(1)のQを考える．Q上の1辺の長さが1である正三角形のPへ・・・

　公立 愛知県立大学 2013年 第2問

座標平面上で，原点Oを始点とし第1象限の点Aを通る半直線OAとx軸の正の向きとのなす角をθ(0＜θ＜π/2)とする．点Bはx軸上にあり，|ベクトルOB|=b，|ベクトルOA|=aとする．原点Oから直線ABに下ろした垂線と直線ABとの交点をPとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルAP=tベクトルABとおく．ベクトルOP=tベクトルOB+(1-t)ベクトルOAであることを示し，tをa,b,θで表・・・

　公立 大阪府立大学 2013年 第1問

平面上に三角形OABがあり，OA=3，OB=√3，∠AOB=30°であるとする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルbとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)∠AOBの二等分線と辺ABの交点をNとする．ベクトルベクトルONをベクトルa，ベクトルbで表せ．
(2)点Oから直線ABに下ろした垂線と直線ABとの交点をHとする．ベクトルベクトルOHをベクトルa，ベクトルbで表せ．

　公立 九州歯科大学 2013年 第2問

曲線y=sinx上の点P(θ,sinθ)における曲線の接線ℓ1とx軸との交点をKとする．また，点Pからx軸へ下した垂線ℓ2とx軸との交点をHとする．このとき，次の問いに答えよ．ただし，0＜θ＜π/2とする．
(1)接線ℓ1をy=Ax+Bとおくとき，AとBをθを用いて表せ．
(2)△PKHの面積Sをcosθを用いて表せ．
(3)S=1となるcosθの値を求めよ．
(4)座標平面の原点をOと・・・

　公立 会津大学 2013年 第2問

△OABにおいて，辺OA，OB，ABの長さをそれぞれ2,4,3とする．辺ABの中点をMとし，頂点Aから辺OBに下ろした垂線と線分OMとの交点をPとする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルbとして，以下の空欄をうめよ．
(1)ベクトルa・ベクトルb=[イ]である．
(2)ベクトルOMをベクトルaとベクトルbを用いて表すと
ベクトルOM=[ロ]ベクトルa+[ハ]ベクトルb
である．
(3)\v・・・

　公立 京都府立大学 2013年 第2問

Oを原点とするxyz空間内に5点A(-1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,1)，D(0,0,2)，E(0,0,4)をとる．中心がD，半径が2の球面をSとし，3点A，B，Cの定める平面をαとする．Sがαと交わってできる図形をFとする．Dからαに垂線DHを下ろす．以下の問いに答えよ．
(1)αに垂直な単位ベクトルをすべて求めよ．
(2)FはHを中心とする円であることを示せ．
(3)F・・・

　国立 九州大学 2012年 第1問

原点をOとする座標空間に，3点A(1,0,0)，B(0,0,2)，C(-2,1,3)がある．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)△ABCにおいて，∠Bはπ/2より大きいことを示せ．
(2)点Aから直線BCに下ろした垂線と直線BCとの交点をHとする．点Hの座標を求めよ．
(3)△OAHの面積を求めよ．

　国立 信州大学 2012年 第3問

下図のように，x軸，y軸，z軸上に辺があり，一辺の長さが3である立方体がある．点A(0,0,3)，B(3,0,2)，C(3,3,1)を通る平面で立方体を切断したときの切り口を四角形ABCDとする．このとき，次の問に答えよ．\\
\setlength\unitlength{1truecm}
\begin{picture}(10,9)(0,0)
\put(3,3){\vector(0,1){5}}
\put(3,3){\vector(-1,-1){2.5}}
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\put(2,2){\line(1,0){4}}
\put(2,5.5){\line(1,0){4}}
\put(2,2){\line(0,1){3.5}}
\put(6,2){\line(0,1){3.5}}
\put(2,5.5){\line(1,1){1}}
\put(3,6.5){\・・・

　国立 金沢大学 2012年 第1問

Oを原点とする座標平面に点A(0,sinθ)，B(cosθ,0)がある．ただし，0＜θ＜π/2とする．また，点CをAC=2,∠ABC=π/2を満たす第1象限の点とする．さらに，点Cからx軸に垂線CDを下ろす．次の問いに答えよ．
(1)AB，BCを求めよ．また，∠OBAと∠CBDおよび点Cの座標をθを用いて表せ．
(2)台形AODCの面積をS・・・