「垂線」について

　私立 東京理科大学 2012年 第3問

座標平面上の点P(p,q)が，媒介変数θにより
p=1+2cosθ,q=1+sinθ(-π＜θ≦π)
で与えられている．aを非負の定数とするとき，点Pから，原点Oと点(1,a)を通る直線に下ろした垂線をPHとし，Hの座標を(u,v)とする．点Pがp≧2を満たす範囲にあるとき，以下の問いに答えよ．
(1)θとqの値の範囲を求めよ．
(2)uをaとθを用いて表せ．
(3)N=\sqrt{u2+(2+a2)v2}とおく．Nをa・・・

　私立 東京理科大学 2012年 第3問

aをa＞2であるような実数とする．座標平面上で，曲線y=1/xをC1とし，点(a,a)を中心とし点(1,1)を通る円をC2とする．曲線C1と円C2の点(1,1)以外の共有点のうち，x座標が1より小さいものをBとする．点Bから直線y=xに下ろした垂線と直線y=xの交点をHとする．
(1)円C2の方程式を求めよ．
(2)点Hの座標を求めよ．また，点Hと点(1,1)の距離を求めよ．
(3)tを正の実数とする．直線y=x上にあり点(1,1)から・・・

　公立 首都大学東京 2012年 第2問

原点O(0,0,0)と点A(1,1,1)を通る直線をℓとし，3点B(1,0,0)，C(0,2,0)，D(0,0,3)を通る平面をαとする．以下の問いに答えなさい．
(1)ベクトルベクトルaは平面αに垂直で，成分がすべて正であり，長さが7になるものとする．このとき，ベクトルaを成分で表しなさい．
(2)△BCDの面積を求めなさい．
(3)Oから平面αへ引いた垂線と平面αとの交点をHとする．線分OHの長さを求めなさい．
(4)Pは座標がすべて正である直線ℓ上の点とする．P・・・

　公立 広島市立大学 2012年 第3問

空間内に4点O，A，B，Cがあり，次の条件を満たすものとする．
　OA　=1,　OB　=1,　OC　=2,∠　AOB　=π/2,∠　BOC　=π/3,∠　COA　=π/4
また，ベクトルOA=ベクトルa,ベクトルOB=ベクトルb,ベクトルOC=ベクトルcとし，Pは平面OAB上の点でベクトルOP=xベクトルa+yベクトルbと表されているとする．点Pが|ベクトルOP|=1を満たして動くとき，以下の問いに答えよ．
(1)点Cから平面OABに下ろした垂線と平面OABの交点をQとする．した・・・

　公立 公立はこだて未来大学 2012年 第7問

原点Oを中心とする半径1の円において扇形OABを考える．ただし，点Aは(1,0)であり，点Bは第1象限にあるとする．扇形OABの中心角は，xラジアン(0＜x＜π/2)であるとする．点BからOAにおろした垂線をBC，点Aにおける円の接線が，点Oと点Bを通る直線と交わる点をDとする．以下の問いに答えよ．
(1)三角形ODA，三角形OAB，扇形OABの面積を，xを用い・・・

　公立 名古屋市立大学 2012年 第4問

曲線C:y=(logx-2log2)logxについて次の問いに答えよ．
(1)関数の増減と凹凸を調べ，曲線Cの概形をかけ．曲線Cがx軸およびy軸と共有点がある場合にはその点の座標を明記すること．また，極値を表す点や変曲点がある場合にはその座標を明記すること．
(2)変曲点における接線と法線の方程式を求めよ．また，接線とx軸との交点Pおよび法線とx軸との交点Qの座標を求めよ．
(3)原点をOとし，変曲点からx軸に下ろした垂線がx軸と交わる点をRとする．線分OP・・・

　公立 福島県立医科大学 2012年 第1問

以下の各問いに答えよ．
(1)行列A=(\begin{array}{cc}
-1&2\
-6&6
\end{array})，B=(\begin{array}{cc}
2&0\
0&3
\end{array})について，AX=XB，X^{-1}=Xを満たす行列Xをすべて求めよ．
(2)OCとABが平行である台形OABCがあって，OA=OC=BC=1，AB=AC，∠AOC＞π/2を満たしているものとする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOC=ベクトルc，∠AOC=\th・・・

　公立 京都府立大学 2012年 第2問

Oを原点とするxyz空間内に2点A(5,3,-3)，B(4,2,-1)をとる．中心がC(5,2,-2)，半径がrの球面をSとし，2点A，Bを通る直線をℓとする．Oから3点A，B，Cの定める平面に垂線OHを下ろす．ℓとSが平面z=1で交点Dをもつ．以下の問いに答えよ．
(1)rの値を求めよ．
(2)ベクトルCD=sベクトルCA+tベクトルCBとなる実数s,tの値を求めよ．
(3)垂線OHの長さを求めよ．
(4)\・・・

　国立 京都大学 2011年 第2問

四面体OABCにおいて．点Oから3点A，B，Cを含む平面に下ろした垂線とその平面の交点をHとする．ベクトルOA⊥ベクトルOB,ベクトルOB⊥ベクトルOC,|ベクトルOA|=2,|ベクトルOB|=|ベクトルOC|=3,|ベクトルAB|=√7のとき，|ベクトルOH|を求めよ．

　国立 九州大学 2011年 第1問

曲線y=√x上の点P(t,√t)から直線y=xへ垂線を引き，交点をHとする．ただし，t＞1とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)Hの座標をtを用いて表せ．
(2)x≧1の範囲において，曲線y=√xと直線y=xおよび線分PHとで囲まれた図形の面積をS1とするとき，S1をtを用いて表せ．
(3)曲線y=√xと直線y=xで囲まれた図形の面積をS2とすると，S1=S2であるとき，tの値を求めよ．