「垂線」について

　国立 九州大学 2011年 第4問

空間内の4点
O(0,0,0),A(0,2,3),B(1,0,3),C(1,2,0)
を考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)点O，A，B，Cを通る球面の中心Dの座標を求めよ．
(2)3点A，B，Cを通る平面に点Dから垂線を引き，交点をFとする．線分DFの長さを求めよ．
(3)四面体ABCDの体積を求めよ．

　国立 秋田大学 2011年 第2問

関数f(x)=exについて，次の問いに答えよ．
(1)原点からy=f(x)のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ．
(2)(1)の接線の接点をP1とする．点P1からx軸に下ろした垂線とx軸との交点をA1(a1,0)とする．このとき，点A1からy=f(x)のグラフへ引いた接線の方程式を求めよ．
(3)(2)の接線の接点をP2とする．点P2からx軸に下ろした垂線とx軸との交点をA2(a2,0)とする．このとき，点A2からy=f(x)のグラフへ接線を引き，その接点をP3とする．さらに，点P3からx軸に下ろした・・・

　国立 九州大学 2011年 第1問

放物線y=x2上の点P(t,t2)から直線y=xへ垂線を引き，交点をHとする．ただし，t＞1とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)Hの座標をtを用いて表せ．
(2)Pを通りy軸に平行な直線と直線y=xとの交点をRとするとき，三角形PRHの面積をtを用いて表せ．
(3)x≧1の範囲において，放物線y=x2と直線y=xおよび線分PHとで囲まれた図形の面積をS1とするとき，S1をtを用いて表せ．
(4)放物線y=x2と直線y=xで囲まれた・・・

　国立 信州大学 2011年 第4問

放物線C:y=1/2x2-1上にない点P(a,b)をとる．放物線C上の点Qに対し直線PQが点QでのCの接線と垂直に交わるとき，直線PQをPからCへの垂線という．点P(a,b)からCへ3本の異なる垂線が引けるためのa,bに関する条件を求めよ．

　国立 福井大学 2011年 第2問

座標平面上の原点Oを中心とする半径1の円周上に，点Pがある．ただし，Pは第1象限の点である．点Pからx軸に下ろした垂線とx軸との交点をQ，線分PQを2:1に内分する点をRとする．θ=∠　QOP　のときのtan∠　QOR　とtan∠　ROP　の値をそれぞれf(θ),g(θ)とおく．以下の問いに答えよ．
(1)f(θ)とg(θ)をθを用いて表せ．
(2)g(θ)の0＜θ＜π/2における最大値と，そのときのθの値を求めよ．
\end{enu・・・

　国立 滋賀大学 2011年 第3問

座標平面上の点(1,0)をAとする．原点O(0,0)を中心とし半径が1の円周上の2点P，Qは，∠　AOP　=θ,∠　AOQ　=θ+π/3,0＜θ＜\frac{2π}{3}を満たす．また，点Pからx軸に引いた垂線とx軸の交点をBとし，点Cを四角形BPQCが平行四辺形になるように定める．ただし，点P，Qのy座標は正とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点Cの座標をθを用いて表せ．
(2)四角形BPQCの面積の最大値を求めよ．また，そのときのθの値を求めよ．
\end{・・・

　国立 香川大学 2011年 第1問

△ABCの外接円の半径は1である．この外接円の中心Oから3つの辺BC，CA，ABへ下ろした垂線をそれぞれOL，OM，ONとし，
√3ベクトルOL+ベクトルOM+(2+√3)ベクトルON=ベクトル0
が成立しているとする．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとおくとき，次の問に答えよ．
(1)ベクトルcをベクトルa,ベクトルbで表せ．
(2)内積ベクトルa・ベクトルbを求めよ．
(3)∠　AOB　および∠　ACB　を求めよ．
(4)△ABCの面・・・

　国立 香川大学 2011年 第1問

△ABCの外接円の半径は1である．この外接円の中心Oから3つの辺BC，CA，ABへ下ろした垂線をそれぞれOL，OM，ONとし，
√3ベクトルOL+ベクトルOM+(2+√3)ベクトルON=ベクトル0
が成立しているとする．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとおくとき，次の問に答えよ．
(1)ベクトルcをベクトルa,ベクトルbで表せ．
(2)内積ベクトルa・ベクトルbを求めよ．
(3)∠　AOB　および∠　ACB　を求めよ．
(4)△ABCの面・・・

　国立 香川大学 2011年 第1問

△ABCの外接円の半径は1である．この外接円の中心Oから3つの辺BC，CA，ABへ下ろした垂線をそれぞれOL，OM，ONとし，
√3ベクトルOL+ベクトルOM+(2+√3)ベクトルON=ベクトル0
が成立しているとする．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとおくとき，次の問に答えよ．
(1)ベクトルcをベクトルa,ベクトルbで表せ．
(2)内積ベクトルa・ベクトルbを求めよ．
(3)∠　AOB　および∠　ACB　を求めよ．
(4)△ABCの面・・・

　国立 三重大学 2011年 第2問

四面体OABCにおいて　OA　=　OC　=√2,　OB　=√5,　AB　=3であり，∠　AOC　=∠　BOC　=π/2であるとする．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとして以下の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルb,ベクトルa・ベクトルc,ベクトルb・ベクトルcを求めよ．
(2)線分ABを1:2に内分する点をDとし，点Oから直線CDに引いた垂線と直線CDの交点をHとするとき，ベクトルOHを\vectit・・・