「垂線」について

　国立 京都工芸繊維大学 2011年 第1問

xyz空間に6点　A　(1,1,0)，　B　(-1,1,0)，　C　(-1,-1,0)，　D　(1,-1,0)，　P　(α,0,β)，　Q　(-α,0,β)が与えられている．ただし，α,βは正の実数とする．
　PB　=　PC　=　BC　　かつ　　PA　=　PD　=　PQ　
であるとき，以下の問いに答えよ．
(1)α,βを求めよ．
(2)点P0(α,0,0)を考える．Pから直線ABに下ろした垂線と直線ABとの交点をHとし，Pから直線AD・・・

　国立 福井大学 2011年 第1問

以下の問いに答えよ．
(1)Oを原点とする座標平面上，直線y=kx(k　は定数　)に関する対称移動をfで表す．また座標平面上の点Pに対して，直線OPをOを中心として角π/4だけ回転して得られる直線ℓにPから下ろした垂線とℓの交点をQとし，PをQに移す移動をgで表す．ただしOはgによりO自身に移動するものとする．f,gをこの順に続けて行って得られる移動（合成変換g\circf）を表す行・・・

　国立 お茶の水女子大学 2011年 第1問

xy平面上の2つの放物線C1,C2を考える．
C1:y=-x2+4x,C2:y=x2-2x
(1)C1,C2の原点とは異なる交点Aの座標とC2の頂点Bの座標を求めよ．
(2)点P(x1,y1)から2点A，Bを通る直線ℓにおろした垂線の足をHとする．Hの座標をx1,y1を用いて表せ．ただし点Pは直線ℓ上にないものとする．
(3)点P(x1,y1)がC1上にあるとき，三角形ABPの面積をx1の式で表せ．
(4)点PがC・・・

　国立 お茶の水女子大学 2011年 第1問

xy平面上の2つの放物線C1,C2を考える．
C1:y=-x2+4x,C2:y=x2-2x
(1)C1,C2の原点とは異なる交点Aの座標とC2の頂点Bの座標を求めよ．
(2)点P(x1,y1)から2点A，Bを通る直線ℓにおろした垂線の足をHとする．Hの座標をx1,y1を用いて表せ．ただし点Pは直線ℓ上にないものとする．
(3)点P(x1,y1)がC1上にあるとき，三角形ABPの面積をx1の式で表せ．
(4)点PがC・・・

　国立 福井大学 2011年 第2問

1辺の長さが1の正十二面体を考える．点O，A，B，C，D，\\
E，Fを図に示す正十二面体の頂点とし，ベクトルOA=ベクトルa，\\
ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとおくとき，以下の問いに答えよ．\\
なお，正十二面体では，すべての面は合同な正五角形であり，\\
各頂点は3つの正五角形に共有されている．
\img{366254620111}{36}

(1)1辺の長さが1の正五角形の対角線の長さを求めて，\\
内積ベクトルa・\ve・・・

　国立 宮城教育大学 2011年 第2問

四面体OABCにおいて
\begin{align}
&OA=√2,OB=3,OC=2,\nonumber\\
&∠AOB=45°,∠BOC=60°,∠COA=45°\nonumber
\end{align}
である．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとするとき，次の問いに答えよ．
(1)辺ABの中点をD，辺BCを1:2に内分する点をEとし，線分AEと線分CDとの交点をFとするとき，ベクトルOF・・・

　国立 長崎大学 2011年 第2問

3辺の長さがAB=4,BC=3,CA=5である直角三角形ABCと，その内側にあって2辺ABおよびACに接する円Oを考える．この円の半径をrとし，中心OからABに引いた垂線とABとの交点をHとする．また，ベクトルベクトルAB，ベクトルACと同じ向きで大きさが1のベクトルを，それぞれベクトルu,ベクトルvとし，ベクトルAH=tベクトルu(t＞0)とする．次の問いに答えよ．
(1)直線AOと辺BCの交点をMとする・・・

　国立 鳴門教育大学 2011年 第2問

三角形ABCにおいて，3辺AB，BC，CAの長さが，それぞれn-1，n，n+1であるとする．ただし，nは4以上の整数である．頂点Aから辺BCに下ろした垂線の長さをdとする．
(1)dをnを用いて表せ．
(2)nが偶数であることは，dの2乗が整数であるための必要十分条件であることを証明せよ．

　私立 早稲田大学 2011年 第2問

座標空間の4点O(0,0,0)，A(3,1,0)，B(1,3,0)，C(2,2,3)を頂点とする四面体OABCを考える．
(1)四面体OABCの体積は[コ]である．
(2)辺OC上に動点Pをとる．三角形PABの面積が最小になるとき，P([サ],[シ],[ス])であり，その最小値は[セ]である．
(3)(2)で選んだ点Pを　P　0とし，　P　0から辺ABに下ろした垂線と辺ABの交点を　Q　0とする．　Q　0(\・・・

　私立 明治大学 2011年 第1問

次の各問の[]にあてはまる数を記入せよ．
(1)z2=-2iのとき，zを求めると，
z=[ア]-[イ]i,z=-[ウ]+[エ]i
である．ただし，i2=-1である．
(2)2次方程式x2-px+p-1=0の2つの解の比が1:3であるとき，
　定数　p　の値は　[ア],　または　\frac{[イ]}{[ウ]}　である　
(3)不等式log_{0.5}(5-x)＜2log_{0.5}(x-3)の解は，
[ア]＜x＜[イ]
である．
(4)放物線y=ax2(a＞0)と直線y=bx(b＞0)・・・