「垂線」について

　国立 信州大学 2010年 第1問

平面上に4点O，A，B，Cがあり，ベクトルベクトルOA,ベクトルOB,ベクトルOCは次の条件を満たして
いる．
\begin{eqnarray}
&&|ベクトルOA|=1,|ベクトルOB|=√2,|ベクトルOC|=√3\nonumber\\
&&ベクトルOA+ベクトルOB+ベクトルOC=ベクトル0\nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問に答えよ．
(1)ベクトルOA⊥ベクトルOBであることを示せ．
(2)AからBCに下ろした垂線とBCの交点をHとする．AHの長さを求めよ．

　国立 東京大学 2010年 第6問

四面体OABCにおいて，4つの面はすべて合同であり，OA=3，OB=√7，AB=2であるとする．また，3点O，A，Bを含む平面をLとする．
(1)点Cから平面Lにおろした垂線の足をHとおく．ベクトルOHをベクトルOAとベクトルOBを用いて表せ．
(2)0＜t＜1をみたす実数tに対して，線分OA，OB各々をt:1-tに内分する点をそれぞれPt，Qtとおく．2点Pt，Qtを通り，平面Lに垂直な平面を・・・

　国立 千葉大学 2010年 第3問

△ABCにおいて，頂点Aから直線BCに下ろした垂線の長さは1，頂点Bから直線CAに下ろした垂線の長さは√2，頂点Cから直線ABに下ろした垂線の長さは2である．このとき，△ABCの面積と，内接円の半径，および，外接円の半径を求めよ．

　国立 信州大学 2010年 第2問

平面上に4点O，A，B，Cがあり，ベクトルベクトルOA,ベクトルOB,ベクトルOCは次の条件を満たしている．
\begin{eqnarray}
&&|ベクトルOA|=1,|ベクトルOB|=√2,|ベクトルOC|=√3\nonumber\\
&&ベクトルOA+ベクトルOB+ベクトルOC=ベクトル0\nonumber
\end{eqnarray}
このとき，次の問に答えよ．
(1)ベクトルOA⊥ベクトルOBであることを示せ．
(2)AからBCに下ろした垂線とBCの交点をHとする．AHの長さを求めよ．

　国立 琉球大学 2010年 第2問

3点O(0,0,0)，A(3,0,0)，B(1,2,1)がある．
(1)z軸上の点C(0,0,m)から直線AB上の点Hにおろした垂線をCHとする．このとき，点Hが線分AB上にあるようなmの値の範囲を求めよ．
(2)点Hが線分AB上にあるとき，垂線CHの長さの最大値，最小値とそのときのHの座標を求めよ．
(3)三角形OABに外接する円の中心Pの座標とその半径rを求めよ．

　国立 香川大学 2010年 第1問

点Oを中心とし，半径1の円に内接する△ABCが
ベクトルOA+√3\;ベクトルOB+2\;ベクトルOC=ベクトル0
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積ベクトルOA・ベクトルOB,ベクトルOA・ベクトルOCを求めよ．
(2)∠　AOB　,∠　AOC　を求めよ．
(3)△ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．

　国立 香川大学 2010年 第1問

点Oを中心とし，半径1の円に内接する△ABCが
ベクトルOA+√3\;ベクトルOB+2\;ベクトルOC=ベクトル0
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積ベクトルOA・ベクトルOB,ベクトルOA・ベクトルOCを求めよ．
(2)∠　AOB　,∠　AOC　を求めよ．
(3)△ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．

　国立 香川大学 2010年 第1問

点Oを中心とし，半径1の円に内接する△ABCが
ベクトルOA+√3\;ベクトルOB+2\;ベクトルOC=ベクトル0
をみたしている．このとき，次の問に答えよ．
(1)内積ベクトルOA・ベクトルOB,ベクトルOA・ベクトルOCを求めよ．
(2)∠　AOB　,∠　AOC　を求めよ．
(3)△ABCの面積を求めよ．
(4)辺BCの長さ，および頂点Aから対辺BCに引いた垂線の長さを求めよ．

　国立 香川大学 2010年 第3問

原点をOとする．A=(\begin{array}{cc}
1&2\\
2&1
\end{array})で表される移動をfとし，fにより点P(cosθ,sinθ)は点Qに移るとする．ただし，0＜θ＜πとする．このとき，次の問に答えよ．
(1)線分OQの長さのとりうる値の範囲を求めよ．
(2)△OPQの面積の最大値およびそのときのθの値を求めよ．
(3)点Pから直線OQに引いた垂線の長さをθを用いて表せ．
(4)P1=P,P2=Q・・・

　国立 三重大学 2010年 第2問

四面体OABCは，　OA　=√5,　OB　=　OC　=5,　AB　=　AC　=\sqrt{30},　BC　=5√2を満たすものとする．辺OBを2:1に外分する点をD，辺OCを3:2に外分する点をEとする．Oから直線DEに引いた垂線と直線BCとの交点をFとする．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとして，次の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルb,ベクトルb・ベクトルc,ベクトルc・ベクトルaを求めよ．
(2)ベクトルOFとベクトルAFを\vectit{・・・