「垂線」について

　国立 長崎大学 2010年 第2問

正三角形ABCにおいて，線分ABを2:1に内分する点をD，線分BCの中点をE，点Eから直線ABに引いた垂線とABの交点をHとする．また，ベクトルHB=ベクトルa,ベクトルHE=ベクトルbとする．次の問いに答えよ．
(1)ベクトルAB,ベクトルAH,ベクトルDBをベクトルaを用いて表せ．
(2)ベクトルCDをベクトルa,ベクトルbを用いて表せ．
(3)線分HE上の点FがベクトルAF⊥ベクトルCDを満たすとき，Fは線分EHを2:1に内分することを示せ．

　国立 福井大学 2010年 第1問

平面上に　OA　=　OB　=1である鋭角二等辺三角形OABがある．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOBとし，k=ベクトルa・ベクトルbとおく．点Aから辺OBに下ろした垂線とOBとの交点をMとし，Mから辺OAに下ろした垂線とOAとの交点をNとする．さらに，線分AMと線分BNの交点をPとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルOM=sベクトルbとベクトルON=tベクトルaを満たす実数s,tをkを用いて表せ．
(2)ベクトルOPをベクトルa,ベクトルbおよびkを用いて表せ．
(3)Pが線分BNを4:・・・

　国立 名古屋工業大学 2010年 第4問

関数f(x)=\frac{logx}{x√x}(x＞1)に対して次の問いに答えよ．必要ならば，自然対数の底eの値は2＜e＜3であることを用いてよい．
(1)関数f(x)の増減を調べよ．
(2)曲線y=f(x)上の点P(t,f(t))における法線ℓの方程式を求めよ．
(3)点Pからx軸に下ろした垂線をPQとする．(2)で求めた法線ℓとx軸との交点をRとする．2点Q，Rの距離の最大値を求めよ．

　国立 福井大学 2010年 第2問

平面上に　OA　=　OB　=1である鋭角二等辺三角形OABがある．ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOBとし，k=ベクトルa・ベクトルbとおく．点Aから辺OBに下ろした垂線とOBとの交点をMとし，Mから辺OAに下ろした垂線とOAとの交点をNとする．さらに，線分AMと線分BNの交点をPとするとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルOM=sベクトルbとベクトルON=tベクトルaを満たす実数s,tをkを用いて表せ．
(2)ベクトルOPをベクトルa,ベクトルbおよびkを用いて表せ．
(3)Pが線分BNを4:・・・

　国立 福井大学 2010年 第1問

空間内に4点O，A，B，Cがあり，　OA　=　OB　=√5,　OC　=1である．また，ベクトルa=ベクトルOA,ベクトルb=ベクトルOB,ベクトルc=ベクトルOCとおくと，ベクトルa・ベクトルb=4,ベクトルb・ベクトルc=1が成り立っている．2点A，Cから直線OBにそれぞれ垂線を下ろし，直線OBとの交点をD，Eとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルDA,ベクトルECをベクトルa,ベクトルb,ベクトルcを用いて表せ．
(2)内積ベクトルa・ベクトルcのとりうる値の範囲を・・・

　国立 九州工業大学 2010年 第2問

Oを原点とする座標空間の2点A(0,0,2)，P(cosθ,2+sinθ,1)に対して，直線AP上の点で原点Oから最も近い点をQ(X,Y,Z)とする．0≦θ≦2πとして，次に答えよ．
(1)X,Y,Zをθを用いて表せ．
(2)θが0,π,3/2πのときの点Qの位置ベクトルをそれぞれベクトルa,ベクトルb,ベクトルcとする．0≦θ≦2πのとき，ベクトルOQ=sベクトルa+tベクトルb+uベクトルcをみたす実数s,t,uをθを・・・

　国立 鹿児島大学 2010年 第6問

x2-y2=2で表される曲線をCとし，P(x0,y0)をC上の点とする．次の各問いに答えよ．
(1)曲線Cの点Pにおける接線ℓの方程式は
x0x-y0y=2
となることを証明せよ．
(2)原点Oからℓに下ろした垂線をOHとする．Hの座標を(x1,y1)とするとき，x1,y1をx0とy0で表せ．
(3)F(1,0)，F´(-1,0)とする．　FH　・　F　´　H　は点Pの取り方によらず一定であることを証明せよ．また，その値を求めよ．

　国立 滋賀医科大学 2010年 第2問

四面体OABCにおいて，ベクトルOA⊥ベクトルOB,ベクトルOA⊥ベクトルBC,ベクトルOB⊥ベクトルBCとする．
(1)三角形OAB,OAC,OBC,ABCはすべて直角三角形であることを示せ．
(2)OCの中点Mから平面ABCに下ろした垂線の足をNとする．
ベクトルCN=sベクトルCA+tベクトルCB
と表すときのs,tを，長さOA,OBで表せ．

　国立 豊橋技術科学大学 2010年 第2問

図に示す点Oを原点とする直交座標空間に点P(1,0,0)をとる．点Pを，xy平面内で原点Oを中心として図に示す矢印の方向に角度θ回転させた位置に点Qをとる．さらに，点Qおよびz軸を含む平面内で，点Oを中心として点Qを矢印の方向に角度θ回転させた位置に点Rをとる．ただし，角度θの範囲は0≦θ≦π/2とする．以下の問いに答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)点Rの座標・・・

　国立 鳴門教育大学 2010年 第4問

△ABCにおいて，辺AB，BC，CAの中点をそれぞれ，L，M，Nとする．頂点Aから辺BCまたはその延長上に下ろした垂線をAHとする．次を証明せよ．
(1)∠LHN=∠A
(2)4点L，M，N，Hは同一円周上にある．