「垂線」について

　私立 上智大学 2015年 第2問

Oを原点とする座標空間において，OA=2，OB=1，ベクトルOA・ベクトルOB=-1を満たす点Aと点Bを考え，直線AB上に点Pをとる．ただし，AB＞APとする．
(1)OP⊥ABのとき，OP=\frac{\sqrt{[サ]}}{[シ]}である．
(2)△OBPが二等辺三角形であるとき，
OP2=1,AP=\frac{[ス]}{[セ]}\sqrt{[ソ]},
または
OP2=[タ]+\f・・・

　私立 東北医科薬科大学 2015年 第1問

三角形OABはOA=6，OB=2√5，AB=2√2である．点Pは辺ABをk:(1-k)に，点Qは辺OBを(1-k2):k2に内分する点である．ただし0＜k＜1とする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルbとおく．このとき，次の問に答えなさい．
(1)ベクトルOP=([ア]-[イ])ベクトルa+[ウ]ベクトルbである．
(2)ベクトルベクトルa,ベクトルbの内積はベクトルa・ベクトルb=[エオ]である．
(3)点Bか・・・

　公立 首都大学東京 2015年 第2問

平行四辺形ABCDにおいて，AD=6，∠A={120}°，ベクトルAD=ベクトルa，ベクトルAB=ベクトルb，AB=xとする．点Aから直線CDに垂線APを引き，点Aを通り辺ADに垂直な直線と対角線BDの交点をQとする．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)線分APの長さを求めなさい．
(2)ベクトルAQをベクトルa，ベクトルb，xの式で表しなさい．
(3)AP=AQが成り立つときの辺ABの長さを求め・・・

　公立 首都大学東京 2015年 第2問

座標空間に3点O(0,0,0)，A(0,2,2)，B(3,-1,2)がある．三角形OABの周上または内部の点PはAP=√2，ベクトルOP⊥ベクトルAPを満たしているとする．このとき，以下の問いに答えなさい．
(1)点Pの座標を求めなさい．
(2)三角形OBPの面積を求めなさい．
(3)点Qが点Aを中心とする半径√2の球面上を動くとき，点Bから直線OQに引いた垂線の長さの最小値を求めなさい．

　公立 公立はこだて未来大学 2015年 第3問

座標平面の原点をOとし，放物線y=x2の上を相異なる2点A(a,a2)，B(b,b2)は∠AOBが直角になるように動くとする．また，点Aと点Bを通る直線をℓとする．以下の問いに答えよ．
(1)aとbがみたす関係を求めよ．
(2)直線ℓの方程式をy=px+qとする．qの値を求めよ．
(3)原点Oから直線ℓに下ろした垂線をOHとする．点Hの軌跡を求めよ．

　公立 奈良県立医科大学 2015年 第4問

四角形ABCDがある．その内部の点をPとし，辺AB，BC，CD，DAまたはそれらの延長に垂線PE，PF，PG，PHを下ろす．点Pの位置によらず，
PE+PG=PF+PH
が成り立つとき，四角形ABCDはどのような形であるか求めよ．

　公立 愛知県立大学 2015年 第3問

座標空間において，3点O(0,0,0)，A(1,1,0)，B(2,1,1)の定める平面をαとし，3点(0,0,0)，(0,1,1)，(1,0,1)の定める平面をβとする．また，平面αと平面βが交わってできる直線をℓとし，平面α上の点Pの座標を(2,-1,3)とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)ベクトルOPをベクトルOA，ベクトルOBを用いて表せ．
(2)直線ℓ上の点をベクトルOA，ベクトルOBと実数kを用いて表せ．
(3)点P・・・

　国立 九州大学 2014年 第3問

鋭角三角形△ABCについて，∠A，∠B，∠Cの大きさを，それぞれA，B，Cとする．△ABCの重心をG，外心をOとし，外接円の半径をRとする．
(1)AとOから辺BCに下ろした垂線を，それぞれAD，OEとする．このとき，
AD=2RsinBsinC,OE=RcosA
を証明せよ．
(2)GとOが一致するならば△ABCは正三角形であることを証明せ・・・

　国立 横浜国立大学 2014年 第3問

Oを原点とする座標空間に，4点
A(-2,1,3),B(s,3,-1),C(1,3,4),D(t,2t,2t)
がある．ただし，s,tは実数でt≠0である．Aを通りベクトルOCに平行な直線と，Bを通りベクトルODに平行な直線が点Pで交わるとする．次の問いに答えよ．
(1)sの値およびPの座標を求めよ．
以下では△PAB　∽　△OCDを仮定する．
(2)tの値を求めよ．
(3)Dから平面・・・

　国立 横浜国立大学 2014年 第2問

Oを原点とする座標空間に，4点
A(-2,1,3),B(s,3,-1),C(1,3,4),D(t,2t,2t)
がある．ただし，s,tは実数でt≠0である．Aを通りベクトルOCに平行な直線と，Bを通りベクトルODに平行な直線が点Pで交わるとする．次の問いに答えよ．
(1)sの値およびPの座標を求めよ．
以下では△PAB　∽　△OCDを仮定する．
(2)tの値を求めよ．
(3)Dから平面・・・