「垂線」について

　国立 京都大学 2014年 第1問

座標空間における次の3つの直線ℓ，m，nを考える：
ℓは点A(1,0,-2)を通り，ベクトルベクトルu=(2,1,-1)に平行な直線である．
mは点B(1,2,-3)を通り，ベクトルベクトルv=(1,-1,1)に平行な直線である．
nは点C(1,-1,0)を通り，ベクトルベクトルw=(1,2,1)に平行な直線である．
Pをℓ上の点として，Pからm，nへ下ろした垂線の足をそれぞれQ，Rとする．このとき，\t・・・

　国立 京都大学 2014年 第3問

座標空間における次の3つの直線ℓ，m，nを考える：
ℓは点A(1,0,-2)を通り，ベクトルベクトルu=(2,1,-1)に平行な直線である．
mは点B(1,2,-3)を通り，ベクトルベクトルv=(1,-1,1)に平行な直線である．
nは点C(1,-1,0)を通り，ベクトルベクトルw=(1,2,1)に平行な直線である．
Pをℓ上の点として，Pからm，nへ下ろした垂線の足をそれぞれQ，Rとする．このとき，\t・・・

　国立 名古屋工業大学 2014年 第4問

座標空間に立方体Kがあり，原点Oと3点A(a,b,0)，B(r,s,t)，C(3,0,0)が次の条件をみたしている．
(i)OA，AB，BCは立方体Kの辺である．
(ii)OCは立方体Kの辺ではない．
(iii)b＞0,t＞0
このとき，以下の問いに答えよ．
(1)立方体Kの一辺の長さlを求めよ．
(2)点Aの座標を求めよ．
(3)点Bの座標を求めよ．
(4)辺AB上・・・

　国立 愛知教育大学 2014年 第7問

0＜t＜π/2とする．座標平面上に，原点Oを中心とする単位円C上の点P(cost,sint)と，x軸上の点Q(cost,0)をとり，点PにおけるCの接線をℓとする．また，点Qからℓに下ろした垂線とℓとの交点をRとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)接線ℓの方程式を求めよ．
(2)PRとQRをtを用いて表せ．
(3)(2)で求めたPRをx(t)，QRをy(t)とする．点S(x(t),y(t))の・・・

　国立 山形大学 2014年 第2問

xy平面上の曲線C:y=√xがある．曲線C上の点P(t,√t)(t＞0)における接線をℓとする．さらに，直線ℓとx軸の交点をQとする．次の問いに答えよ．
(1)接線ℓの方程式を求めよ．
(2)点Qの座標をtを用いて表せ．
(3)点Pからx軸に下ろした垂線をPRとするとき，△PQRをx軸のまわりに1回転してできる立体の体積をtを用いて表せ．
(4)曲線C，直線ℓおよびx軸で囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してでき・・・

　国立 山形大学 2014年 第4問

△A1B1Cは，B1C=√2，∠B1A1C=π/2，∠A1B1C=θ(0＜θ＜π/2)を満たす．下図のように，点A1から辺B1Cに下ろした垂線をA1B2とし，点B2から辺A1Cに下ろした垂線をB2A2とする．次に，点A2から辺B1Cに下ろした垂線をA2B3・・・

　国立 秋田大学 2014年 第3問

原点Oを中心とする半径1の円C上の点をPとし，線分OPとx軸の正の向きとのなす角をθとする．ただし，0≦θ≦π/2とする．また，C上の点Qを，線分OQとx軸の正の向きとのなす角がθ/2となる点とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線OQと直線x=1との交点を(1,t)とするとき，Pの座標をtを用いて表せ．
(2)Pからx軸におろした垂線の交点をHと・・・

　国立 秋田大学 2014年 第3問

原点Oを中心とする半径1の円C上の点をPとし，線分OPとx軸の正の向きとのなす角をθとする．ただし，0≦θ≦π/2とする．また，C上の点Qを，線分OQとx軸の正の向きとのなす角がθ/2となる点とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)直線OQと直線x=1との交点を(1,t)とするとき，Pの座標をtを用いて表せ．
(2)Pからx軸におろした垂線の交点をHと・・・

　国立 山口大学 2014年 第3問

四面体ABCDにおいて，
AB=AC=AD=1,BC=√3,∠BDC=θ
のとき，次の問いに答えなさい．ただし，π/3＜θ＜π/2とする．
(1)点Aから△BCDを含む平面に垂線を下ろし，その平面との交点をHとする．線分AH，BH，CH，DHの長さを，それぞれθを用いて表しなさい．
(2)t=cosθとする．θを一定の値に保ったまま点Dが動・・・

　国立 茨城大学 2014年 第3問

OA=√3，OB=2，AB=√5となる三角形OABがある．三角形OABの内部の点Cから辺OA，OBに下ろした垂線の足をそれぞれP，Qとすると，
OP:PA=2:1,OQ:QB=1:2
であった．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとおくとき，以下の各問に答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルb，ベクトルc・ベクトルa，ベクトルc・ベクトルbをそれぞれ・・・