「垂線」について

　国立 茨城大学 2014年 第4問

円に内接し対角線が直交する四角形ABCDについて，対角線の交点をEとし，その交点Eから辺ADに垂線EHを引く．また，線分HEの延長と辺BCの交点をMとする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)∠ADE=∠CEMであることを示せ．
(2)BM=EM=CMであることを示せ．

　国立 京都工芸繊維大学 2014年 第1問

四面体ABPQはAP=AQ=3，BP=BQ=2√2，PQ=12/5，∠APB=π/4を満たすとする．点Pから直線ABに下ろした垂線をPHとする．
(1)線分PHの長さを求めよ．
(2)∠PHQの大きさをθとする．sinθの値を求めよ．
(3)2つのベクトルベクトルABとベクトルPQは垂直であることを証明せよ．
(4)四面体ABPQの体積を求めよ．

　私立 慶應義塾大学 2014年 第4問

正四面体OABCにおいて辺OAの中点をD，辺OBを1:2に内分する点をE，辺OCをm:(1-m)に内分する点をFとする．ただし，mは0＜m＜1を満たす実数の定数とする．Eから3点O，A，Cの定める平面に垂線EHを下ろし，直線OHと線分DFの交点をIとする．三角形ODEの面積は\frac{9√3}{4}であり，四面体ODEFの体積は正四面体OABCの体積の5/54倍である．・・・

　私立 東北工業大学 2014年 第2問

三角形ABCにおいて，3つの角の大きさの比A:B:Cが2:3:7であるとする．また，頂点Cから辺ABにおろした垂線と辺ABとの交点をDとしたときBD=\sqrt{10}である．
(1)BC=2\sqrt{[サ][シ]}，AD=\sqrt{[ス][セ]}である．
(2)三角形ABCの面積は5+5\sqrt{[ソ][タ]}である．
(3)三角形ABCが内接する円の面積は[チ][ツ]πである．ただし，πは円周率を表す．
(4)cosC=\f・・・

　私立 産業医科大学 2014年 第3問

一辺の長さが1の正二十面体の1つの面を△ABCとする．さらに外接球の中心をOとする．すなわち，この正二十面体の12個の頂点は中心をOとする1つの球の上にある．次の問いに答えなさい．
(1)3点A，B，Oを通る平面でこの正二十面体を切ったとき，切り口として得られる六角形の面積を求めなさい．
(2)Oから△ABCに下ろした垂線の足をDとするとき，線分ODの長さを求めなさい．

　私立 福岡大学 2014年 第5問

4点O(0,0,0)，A(√2,0,0)，B(0,y,0)，C(0,0,√5)を頂点とする四面体OABCにおいて，y＞0，∠ABC=π/3とする．このときyの値を求めるとy=[]である．また，原点Oから△ABCに下ろした垂線の足をHとする．このとき，ベクトルベクトルOHを成分で表すと[]である．

　私立 青山学院大学 2014年 第2問

平面上に，∠AOB=π/2，OA=2，OB=3であるような三角形OABがある．辺ABの中点をMとする．三角形ABPが正三角形になるように，直線ABに関して点Oの反対側に点Pをとる．このとき，
(1)ベクトルOM=\frac{[13]}{[14]}ベクトルOA+\frac{[15]}{[16]}ベクトルOBである．
(2)点Oから辺ABに垂線を下ろし，辺ABとの交点をHとすると，・・・

　私立 青山学院大学 2014年 第3問

下図のように，点Oを中心とし，半径が1で中心角が2/3πの扇形OABがある．θを0＜θ＜π/3を満たす角として，弧AB上に，∠AOP=θ，∠BOQ=θを満たす点P，Qをとる．また，点Pから線分OAに垂線を下ろし，線分OAとの交点をRとする．点Qから線分OBに垂線を下ろし，線分OBとの交点をSとする．このとき，以下の問に答えよ．
\imgc{189227・・・

　私立 広島修道大学 2014年 第1問

空欄[1]から[11]にあてはまる数値または式を記入せよ．
(1)1次不等式\frac{7+4x}{3}≧\frac{x+1}{2}-xの解は[1]である．
(2)\frac{1}{2+√3-√5}の分母を有理化すると[2]となる．
(3)A,B,Cを定数とする．\frac{x2+2x+17}{x3-x2-5x-3}=\frac{A}{(x+1)2}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x-3}がxについての恒等式であるとき，A=[3]，B=[4]，C=[5]である．
(4)実数aに・・・

　私立 広島修道大学 2014年 第2問

次の問に答えよ．
(1)3点A(-1,0)，B，Cを頂点とする△ABCにおいて，点Bから対辺に下ろした垂線の方程式はx-3y+2=0であり，点Cから対辺に下ろした垂線の方程式は4x+2y-5=0である．このとき，3直線AB，AC，BCの方程式を求めよ．
(2)aを定数とする．関数y=1/2x3-15/4x2+8x+5のグラフと直線y=2x+aが共有点を3個もち，それらのx座標がすべて正の数となるようなaの値の範囲を求めよ．・・・