「垂線」について

　私立 早稲田大学 2014年 第4問

原点をOとする空間に点A(1,1,1)，点B(1,2,3)，点P(4,0,-1)がある．線分ABを直径とする円のうち，直線OAと2点で交わるものを円Sとし，点A以外の交点をCとする．
(1)点Cの座標は([チ],[ツ],[テ])である．
(2)円Sを含む平面と，点Pからこの平面におろした垂線との交点の座標は(\frac{[ト]}{[ナ]},[ニ],-3/2)である．

　私立 昭和大学 2014年 第1問

次の各問に答えよ．
(1)(1-1)連立不等式600＜2^{x+2}-2x＜900を満たす自然数xを求めよ．
(1-2)連立不等式21＜log2x6＜22を満たす自然数xを求めよ．
(2)(2-1)0≦x≦πのとき，方程式√3sinx-cosx=aが相異なる2つの解をもつような定数aの値の範囲を求めよ．
(2-2)2次方程式√3x2+2x-√3=0の2つの解をtanα，tanβとするとき，α+βの値を求めよ．ただし，0＜α+β＜πとする．・・・

　私立 同志社大学 2014年 第3問

平面上で鋭角三角形△ABCの外側に，ABおよびACを1辺とする正方形ABFG，ACDEをつくる．ただし，|ベクトルAB|=|ベクトルAG|，|ベクトルAC|=|ベクトルAE|とする．線分EGの中点をM，点CからABに下ろした垂線の足をH，直線AMとCHの交点をPとする．ベクトルAB=ベクトルa，ベクトルAC=ベクトルbとおき，|ベクトルa|=1，|ベクトルb|=t，∠CAB=θとする．以下の問いに答えよ．
(1)・・・

　私立 同志社大学 2014年 第2問

座標空間内の球面x2+y2+z2=9上に3点A(3,0,0)，B(2,1,2)，C(1,-2,2)をとる．次の問いに答えよ．
(1)△ABCの面積を求めよ．
(2)3点A，B，Cを通る平面に，原点Oから下ろした垂線の足Hの座標を求めよ．
(3)球面上を動く点Pを頂点とする四面体PABCを考え，その体積をVとする．Vの最大値と，そのときの点Pの座標を求めよ．

　私立 杏林大学 2014年 第3問

[ケ]，[ヌ]，[ネ]の解答は解答群の中から最も適当なものを1つ選べ．
3点A，B，Cがそれぞれx軸，y軸，z軸上にあり，原点Oを頂点に持つ3つの三角形OAB，OBC，OCAの面積の比が1:√3:√5となっている．三角形ABCを含む平面をαとする．
(1)平面α上にある点Pの位置ベクトルをベクトルOP=sベクトルOA+tベクトルOB+uベクトルOCと表わすと，s+t+u=[ア]が成り・・・

　私立 九州産業大学 2014年 第2問

直線-3x+y-5=0をℓ1，直線x+3y-15=0をℓ2，直線-x+2y-5=0をℓ3とする．また，直線ℓ1と直線ℓ2の交点をA，直線ℓ2と直線ℓ3の交点をB，直線ℓ1と直線ℓ3の交点をCとし，点Aから線分BCへ下ろした垂線をADとする．
(1)点Aの座標は([ア],[イ])，点Bの座標は([ウ],[エ])，点Cの座標は([オカ],[キ])である．
(2)垂線ADの長さは\sqrt{・・・

　私立 獨協医科大学 2014年 第3問

空間に，同一直線上にない3点O，A，Bがあり，条件
|ベクトルOA|=2,|ベクトルOB|=1ベクトルOA・ベクトルOB=-1
を満たしている．O，A，Bを通る平面をαとし，α上にない点Pを次の条件を満たすようにとる．
ベクトルOP・ベクトルOA=2,ベクトルOP・ベクトルOB=-1
点Pから平面αに下ろした垂線とαとの交点をHとすると
ベクトルOH=\frac{[ア]}{[イ]}ベクトルOA-\frac{[ウ]}{\kakko{・・・

　私立 獨協医科大学 2014年 第5問

関数f(x)=2x+cosxがある．xy平面上の曲線y=f(x)の0≦x≦π/2の部分をCとし，Cと直線y=2x，および直線x+2y=2で囲まれた領域をDとする．領域Dを直線y=2xの周りに1回転してできる立体の体積を求めよう．
（プレビューでは図は省略します）
C上の点P(t,f(t))から直線y=2xに下ろした垂線と直線y=2xとの交点をQとする．
線分PQの長さは
\frac{|cost|}{\sqrt{[ア]}}
であり，点Qのx座標は
t+\frac{・・・

　私立 北海学園大学 2014年 第3問

対角線がAC，BDである平行四辺形ABCDの面積は8\sqrt{15}であり，三角形ABDは鋭角三角形である．このとき，頂点Dから辺ABに下ろした垂線をDHとし，AB=8，AH=x，BD=yとする．ただし，x＞0，y＞0とする．
(1)1≦x≦7のとき，yの値の範囲を求めよ．
(2)x=1のとき，三角形ABDの内接円の面積Sの値を求めよ．
(3)三角形ABDの内接円と三角形BCDの内接円が接するとき，xの値を求めよ．
\end・・・

　私立 成城大学 2014年 第2問

△ABCの面積をS，辺BC，CA，ABの長さをそれぞれa,b,cとし，△ABCの各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした3本の垂線をAD，BE，CFとする．
(1)AD，BE，CFの長さをS,a,b,cを用いてそれぞれ表せ．
(2)AD，BE，CFの長さの比が1:2:3になることはあり得ないことを証明せよ．