「垂線」について

　国立 東北大学 2013年 第2問

四面体OABCにおいて，OA=OB=OC=1とする．∠AOB=60°，∠BOC=45°，∠COA=45°とし，ベクトルa=ベクトルOA，ベクトルb=ベクトルOB，ベクトルc=ベクトルOCとおく．点Cから面OABに垂線を引き，その交点をHとする．
(1)ベクトルベクトルOHをベクトルaとベクトルbを用いて表せ．
(2)CHの長さを求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．

　国立 埼玉大学 2013年 第4問

次の条件を満たす四面体ABCDを考える．
\begin{align}
&ベクトルAB・ベクトルAC=2,ベクトルAC・ベクトルAD=4,ベクトルAD・ベクトルAB=3,\nonumber\\
&|ベクトルBC|=√7,|ベクトルCD|=√5,|ベクトルDB|=√6\nonumber
\end{align}
（プレビューでは図は省略します）
次の問いに答えよ．
(1)|ベクトルAB|，|ベクトルAC|，|ベクトルAD|を求めよ．
(2)点Dから3点A，B，Cを含む平面に下ろした垂線の足をHとする．ベクトルDHを\・・・

　国立 埼玉大学 2013年 第4問

次の条件を満たす四面体ABCDを考える．
\begin{align}
&ベクトルAB・ベクトルAC=2,ベクトルAC・ベクトルAD=4,ベクトルAD・ベクトルAB=3,\nonumber\\
&|ベクトルBC|=√7,|ベクトルCD|=√5,|ベクトルDB|=√6\nonumber
\end{align}
（プレビューでは図は省略します）
次の問いに答えよ．
(1)|ベクトルAB|，|ベクトルAC|，|ベクトルAD|を求めよ．
(2)点Dから3点A，B，Cを含む平面に下ろした垂線の足をHとする．ベクトルDHを\・・・

　国立 広島大学 2013年 第2問

座標平面上に点A(cosθ,sinθ)(0＜θ＜π)がある．原点をOとし，x軸に関して点Aと対称な点をBとする．次の問いに答えよ．
(1)-1＜ベクトルOA・ベクトルOB≦1/2となるθの範囲を求めよ．
(2)点Pを
ベクトルOP=2ベクトルOA+1/2ベクトルOB
で定める．点Pからx軸に下ろした垂線をPQとする．θが(1)で求めた範囲を動くとき，△POQの面積の最大値を求めよ．
\end{・・・

　国立 金沢大学 2013年 第1問

正の実数a,b,cに対して，Oを原点とする座標空間に3点A(a,0,0)，B(0,b,0)，C(0,0,c)がある．AC=2,BC=3かつ△ABCの面積が\frac{3√3}{2}となるとき，次の問いに答えよ．
(1)sin∠ACBの値を求めよ．また，線分ABの長さを求めよ．
(2)a,b,cの値を求めよ．
(3)四面体OABCの体積を求めよ．また，原点Oから△ABCに下ろした垂線の長さを求めよ．
\end・・・

　国立 熊本大学 2013年 第3問

直方体OABC-DEFGにおいて，OA=OD=1，OC=2とし，辺EFの中点をMとする．また，ベクトルOP=tベクトルOD(0≦t≦1)とし，点Pから線分CMにおろした垂線と線分CMとの交点をHとする．ベクトルa=ベクトルOA，ベクトルc=ベクトルOC，ベクトルd=ベクトルODとおくとき，以下の問いに答えよ．
（プレビューでは図は省略します）
(1)ベクトルPC,ベクトルCM,ベクトルPMをベクトルa,ベクトルc,ベクトルd,tを用いて表せ．
\・・・

　国立 東京大学 2013年 第2問

座標平面上の3点
P(0,-√2),Q(0,√2),A(a,\sqrt{a2+1})(0≦a≦1)
を考える．
(1)2つの線分の長さの差PA-AQはaによらない定数であることを示し，その値を求めよ．
(2)Qを端点としAを通る半直線と放物線y=\frac{√2}{8}x2との交点をBとする．点Bから直線y=2へ下した垂線と直線y=2との交点をCとする．このとき，線分の長さの和
PA+AB+\ten{B・・・

　国立 名古屋工業大学 2013年 第4問

三角形OABがある．点Oから直線ABに下ろした垂線の足をHとする．辺ABの中点をMとし，Mを通り辺ABに垂直な直線と直線OAとの交点をNとする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルbとし，|ベクトルa|=3，|ベクトルb|=2，ベクトルa・ベクトルb=pとするとき，次の問いに答えよ．
(1)ベクトルOHをベクトルa,ベクトルbおよびpを用いて表せ．
(2)ベクトルONをベクトルa,ベクトルbおよびpを用いて表・・・

　国立 富山大学 2013年 第2問

AB=1，∠BAC=θ(0＜θ＜π,θ≠π/2)である△ABCを考える．頂点Bから辺ACまたはその延長に垂線BPを下ろし，点Pから辺ABに垂線PQを下ろす．このとき，次の問いに答えよ．
(1)sinθ=tとするとき，△BPQの面積をtを用いて表せ．
(2)θを動かすとき，△BPQの面積の最大値を求めよ．

　国立 愛知教育大学 2013年 第6問

座標平面上の円C:x2+y2=1と点A(-1,0)に対し，点Aを通る傾きm(m＞0)の直線と円Cとの交点で，点Aとは異なる点をPとする．また，点Pからx軸に下した垂線をPQとする．以下の問いに答えよ．
(1)点Pの座標をmを用いて表せ．
(2)△APQの面積を最大とするmの値を求めよ．