「垂線」について

　国立 岩手大学 2013年 第3問

座標空間内で4点O(0,0,0)，A(3,0,0)，B(0,4,0)，C(0,0,3)を頂点とする四面体OABCを考える．辺AB上の点をD，辺AC上の点をE，線分DE上の点をPとする．線分DEは辺BCに平行とする．ベクトルAD=αベクトルAB，ベクトルDP=βベクトルDEとするとき，次の問いに答えよ．ただし，α,βは実数とし，0＜α＜1，0＜β＜1とする．
(1)ベクトルOPをベクトルOA，ベクトルAB，・・・

　国立 福島大学 2013年 第2問

直角三角形ABCがあり，∠A=π/2，∠B=θ，BC=aである．頂点Aから辺BCに垂線AP1を下ろし，点P1から辺ABに垂線P1Q1を下ろす．同様に，点Q1から辺BCに垂線Q1P2を下ろし，点P2から辺ABに垂線P2Qを下ろす．この操作を繰り返し，辺BC上に点P1，P2，P3を，辺AB上に点Q1，Q2，\・・・

　国立 秋田大学 2013年 第3問

空間内の点P(1,-1,-2)を出発して，3点Q，R，Sで向きを変えてもとの点Pに戻る折れ線PQRSPを，ベクトルPQ=(-2,4,5)，ベクトルQR=(2,1,1)，ベクトルRS=(-3,-4,-2)となるように定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)点Q，R，Sの座標をそれぞれ求めよ．
(2)平面上の点P´，Q´，R´，S´を，それぞれ点P，Q，R，Sのx,y座標を取・・・

　国立 高知大学 2013年 第2問

円に内接する四角形ABCDにおいて，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4とする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)ACを求めよ．
(2)sin∠ABCを求めよ．
(3)Aから直線BCに下ろした垂線AEの長さを求めよ．
(4)sin∠ACBを求めよ．
(5)四角形ABCDの面積を求めよ．

　国立 佐賀大学 2013年 第3問

x軸，y軸，z軸を座標軸，原点をOとする座標空間において，z軸\\
を中心軸とする半径1の円柱を考える．次に，x軸を含みxy平面と\\
のなす角がπ/4となる平面をαとし，平面αによる円柱の切り口の\\
曲線をCとする．また，点A(1,0,0)とする．さらに，曲線C上\\
の点Pからxy平面に下ろした垂線をPQとし，∠AOQ=θ\\
(0≦θ＜2π)とする．このとき，次の問に答えよ．
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　国立 大分大学 2013年 第3問

△OABにおいて，ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，|ベクトルa|=√3，|ベクトルb|=√2，ベクトルa・ベクトルb=tとする．点Aから直線OBに垂線APを下ろし，点Bから直線OAに垂線BQを下ろし，直線APと直線BQの交点をRとする．
(1)tの範囲を求めなさい．
(2)ベクトルOPをtとベクトルbで，ベクトルOQをtとベクトルaで表しなさい．
(3)t=1のとき，ベクトルORを\vectit{a・・・

　国立 鹿児島大学 2013年 第3問

次の各問いに答えよ．
(1)三角形ABCの垂心をHとする．次の等式が成り立つことを示せ．
ベクトルHA・ベクトルHB=ベクトルHB・ベクトルHC=ベクトルHC・ベクトルHA
ただし，三角形の各頂点から向かい合う辺またはその延長に下ろした3本の垂線は1点で交わる．この点を三角形の垂心という．
(2)次の(i),(ii)に答えよ．
(i)自然数nに対して自然数anを次のように定義する．
an=(2n-1)・(2n-3)・・・・・3・1・・・

　国立 群馬大学 2013年 第13問

空間内に4点A(2,0,2)，B(6,0,0)，C(4,2,2)，D(5,1,7)がある．
(1)3点A，B，Cを含む平面をαとし，点Dからαに下ろした垂線とαの交点をHとする．点Eを，Hが線分DEの中点となるようにとるとき，Eの座標を求めよ．
(2)0＜t＜1とする．線分ABをt:1-tに内分する点をP，線分BCをt2:1-t2に内分する点をQ，線分CDの中点を\ten・・・

　国立 京都工芸繊維大学 2013年 第1問

一辺の長さが1の正十角形Dが平面上にある．Dの外接円をCとおき，Cの中心をO，Cの半径をRとおく．Dの頂点P1，P2，・・・，P_{10}はC上でこの順に反時計回りに並んでいるとする．点P2，P3から直線OP1へ下ろした垂線をそれぞれP2H2，P3H3とする．
(1)R=\frac{1}{2sinθ1}を満たすθ1(0°＜θ1＜90°)を求めよ．
(2)P1H2=sinθ2・・・

　国立 福井大学 2013年 第2問

四面体OABCの各辺の長さをそれぞれAB=√7，BC=3，CA=√5，OA=2，OB=√3，OC=√7とする．ベクトルOA=ベクトルa，ベクトルOB=ベクトルb，ベクトルOC=ベクトルcとおくとき，以下の問いに答えよ．
(1)内積ベクトルa・ベクトルb，ベクトルb・ベクトルc，ベクトルc・ベクトルaを求めよ．
(2)三角形OABを含む平面をαとし，点Cから平面αに下ろした垂線とαとの交点を\ten{H・・・