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次の問いに答えよ.
(1)cos3θをcosθのみの式で表せ.
(2)次の(i),(ii)に答えよ.
(i)3次関数f(x)=x3-3/4xについて増減表を書き,y=f(x)のグラフの概形を描け.
(ii)y=f(x)のグラフと直線y=kが共有点を2つまたは3つもつような定数kの値の範囲を求めよ.
また,kがこの範囲を動くとき,共有点のx座標のとる値の範囲を求めよ.
(3)3次方程式x3-\・・・
国立 浜松医科大学 2014年 第2問関数f(x)=\frac{3√3}{sinx}-\frac{1}{cosx}(0<|x|<π/2)を考える.以下の問いに答えよ.
(1)y=f(x)の増減表を作成し,極値を求めよ.
(2)f(x)の第2次導関数f^{\prime\prime}(x)は,3次式P(t)=t(2t2-1)を用いて,
f^{\prime\prime}(x)=3√3P(\frac{1}{sinx})-P(\frac{1}{cosx})
と表されることを示せ.また,0<x1<x2<π/2のときf^{\prime\prime}(x1)>f^{\prime\prime・・・
私立 中部大学 2014年 第2問0<x<πで定義された関数f(x)=\frac{1}{sinx}について,次の問いに答えよ.
(1)f(π/3)を求めよ.
(2)f´(x)とf^{\prime\prime}(x)を求めよ.また,f^{\prime\prime}(x)>0となることを示せ.これらの結果を増減表に書き,曲線y=f(x)のグラフの概形をかけ.
(3)0≦t≦1に対し,0<a≦x<πを満たす任意のaとxを考えると,
tf(a)+(1-t)f(x)≧f(at+(1-t)x)
が成り立つことを示せ.
(4)三角形ABCのそ・・・
私立 神奈川大学 2014年 第3問f(x)=-1/3x3+1/2x2+2とする.以下の問いに答えよ.
(1)f(x)の導関数f´(x)を求めよ.
(2)f(x)の増減表をかき,極値を求めよ.
(3)y=f´(x)のグラフとx軸で囲まれた部分の面積をS1とする.S1を求めよ.
(4)0<k<1とする.直線y=kxとy=f´(x)のグラフで囲まれた部分の面積をS2とする.S2をkの式で表せ.
(5)S2がS1の1/8となるときのkの値を求めよ.
私立 名城大学 2014年 第3問3次関数f(x)=-x3+ax2に対し,曲線y=f(x)と直線y=2x-2が接しているとする.
(1)aの値を求めよ.
(2)f(x)の増減表をかき極値を求め,y=f(x)のグラフをかけ.
(3)曲線y=f(x)のx≧0の部分と,x軸および直線x=1によって囲まれる図形の面積を求めよ.
公立 兵庫県立大学 2014年 第1問関数f(x)=cos3x(0≦x≦2π)について,次の問いに答えよ.
(1)f(x)の増減表をかけ.ただし,凹凸は調べなくてよい.
(2)定積分∫0^{π/4}f(x)sinxdxを求めよ.
国立 高知大学 2013年 第1問3次関数f(x)=x3-6x+3について,次の問いに答えよ.
(1)y=f(x)の増減表を作り,yが極大,極小となるグラフ上の点をそれぞれ,A,Bとするとき,それらの点の座標を求めよ.
(2)線分ABの中点Cの座標を求め,Cがy=f(x)のグラフの上にあることを示せ.
(3)y=f(x)のグラフは,(2)で求めた点Cに関して点対称であることを示せ.
(4)(2)で求めた点Cを通り傾きが2の直線とy=f(x)のグラフで囲まれた部分の面積を求めよ.
国立 帯広畜産大学 2013年 第2問関数f(x)=1/2x3+ax2+bx+cで定義される曲線y=f(x)は,3点(0,0),(2,0),(-2,0)を通る.また,曲線y=f(x)をx軸方向に1だけ移動した曲線をy=g(x)とする.ただし,a,b,cは実数とする.次の各問に答えよ.
(1)a,b,cの値を求めなさい.
(2)関数y=f(x)の増減表を作り,そのグラフの概形を図示しなさい.
(3)曲線y=f(x)と円x2+y2=4のすべての交点を求めなさい.
(4)連立不等式
{\begin{array}{l}
x2+y2≦4\
y≧f(x)\\
y\・・・
国立 鹿児島大学 2013年 第4問xy平面において,曲線y=exと3直線y=x+1,x=1,x=-1で囲まれた部分をDとする.ただしeは自然対数の底である.次の各問いに答えよ.
(1)関数f(x)=ex-(x+1)の増減,極値,凹凸を-1≦x≦1の範囲で調べ,増減表にまとめよ.
(2)Dを図示せよ.
(3)Dをx軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積Vを求めよ.
私立 福岡大学 2013年 第8問関数f(x)=x(logx)2(x>0)について,次の問いに答えよ.ただし,対数は自然対数とする.
(1)この関数の増減,極値,グラフの凹凸および変曲点を調べ,増減表を書け.
(2)曲線y=f(x)と変曲点における接線,および直線x=1によって囲まれる部分の面積を求めよ.