「増減」について

　国立 島根大学 2011年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=\frac{1}{\sqrt{x2+1}}の増減，極値，グラフの凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)関数y=log(x+\sqrt{x2+1})-axが極値をもつように，定数aの値の範囲を定めよ．
(3)極値\lim_{n→∞}(\frac{1}{\sqrt{12+n2}}+\frac{1}{\sqrt{22+n2}}+・・・+\frac{1}{\sqrt{n2+n2}})を求めよ．

　国立 鳥取大学 2011年 第4問

xの関数f(x)とF(x)を
f(x)=\frac{1}{x2+1},F(x)=∫0xf(t)dt
により定める．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)の増減，凹凸を調べ，y=f(x)のグラフの概形を描け．
(2)F(\frac{1}{√3})の値を求めよ．
(3)実数x,yが|x|＜1,|y|＜1を満たすとき
F(\frac{x+y}{1-xy})=F(x)+F(y)
が成り立つことを示せ．
(4)F(2-√3)の値を求めよ．

　国立 名古屋工業大学 2011年 第1問

kを正の定数とする．関数
\begin{eqnarray}
&&f(x)=1/x-\frac{k}{(x+1)2}(x＞0)\nonumber\\
&&g(x)=\frac{(x+1)3}{x2}\qquad\qquad(x＞0)\nonumber
\end{eqnarray}
について，次の問いに答えよ．
(1)g(x)の増減を調べよ．
(2)f(x)が極値をもつような定数kの値の範囲を求めよ．
(3)f(x)がx=aで極値をとるとき，極値f(a)をaだけの式で表せ．
(4)kが(2)で求めた範囲にあるとき，f(x)の極大値は1/8より小さいことを示せ．

　国立 九州工業大学 2011年 第1問

a,bを正の実数とし，関数f(x),g(x)をそれぞれf(x)=3x-2asinxcosx,g(x)=x2+bcos2x-bとする．以下の問いに答えよ．
(1)a=3のとき，0≦x≦πにおけるf(x)の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)a=1のとき，x≧0においてf(x)≧0が成り立つことを示せ．
(3)x≧0においてf(x)≧0が成り立つようなaの範囲を求めよ．
(4)x≧0においてg(x)≧0が成り立つようなbの範囲を求めよ．

　国立 電気通信大学 2011年 第1問

xy平面上の曲線C:y=logxに対して，以下の問いに答えよ．ただし，logxはeを底とする自然対数とする．
(1)曲線C上の点P(t,logt)におけるCの接線ℓの方程式を求めよ．
(2)接線ℓとx軸の交点Qのx座標をx0とする．x0をtを用いて表せ．
(3)t＞1のとき，曲線Cとx軸および直線x=tとで囲まれる部分の面積をS(t)とする．S(t)をtを用いて表せ．
(4)t＞1のとき，曲線Cとx軸および接線ℓとで囲まれる部分の面積をT(t)とする．T(t)をtを用い・・・

　国立 山形大学 2011年 第1問

関数f(x)=x+cos(2x)がある．
(1)f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(2)f(x)の第2次導関数f^{\prime\prime}(x)を求めよ．
(3)曲線y=f(x)(　ただし，　0≦x≦π/2)の増減表を書け．増減表には，増減のほか，凹凸についても明示すること．
(4)曲線y=f(x)(　ただし，　0≦x≦π/2)のグラフを描け．

　国立 宮城教育大学 2011年 第4問

関数f(x)=e^{3x}+e^{-3x}-12(ex+e^{-x})を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)g(x)=ex-e^{-x}とおく．関数g(x)は単調増加であることを示せ．
(2)u=g(x)とおくとき，f(x)の導関数f´(x)をuを用いて表せ．
(3)関数y=f(x)の増減，極値を調べ，そのグラフをかけ．

　国立 九州工業大学 2011年 第4問

曲線C1:y=√x|logx|と曲線C2:y=√xがある．ただし，対数は自然対数とする．次に答えよ．
(1)関数f(x)=√xlogxの増減，極値を調べ，曲線y=f(x)の概形をかけ．ただし，\lim_{x→+0}√xlogx=0であることを用いてよい．
(2)曲線C1,C2はx＞0において2つの交点をもつ．それらの座標を求めよ．
(3)(2)で求めた交点のx座標をa,b(a＜b)とする．曲線C1,C2のa≦x≦bの部分が囲む図形の面積Sを求めよ．

　国立 愛媛大学 2011年 第3問

自然数nを定数として，さいころを投げる次の競技を行う．この競技は，{\bf試行}1と{\bf試行}2からなる．競技者は，はじめに{\bf試行}1を行う．
\begin{screen}
\mon[{\bf試行}1]さいころを投げ，出た目の数をXとする．Xの値に応じて次の手順に従う．
\mon[\bullet]X=1,2,3,4,5の場合
Xの値を得点として競技を終了する．
\mon[\bullet]X=6の場合
もしn=1ならば，7を得点として競技を終了する．
(★)もしn≧2ならば，{\bf試行}2に進む．
\end・・・

　私立 早稲田大学 2011年 第3問

f(x)=\frac{logx}{x}とする．以下の問に答えよ．
(1)y=f(x)のグラフの概形を次の点に注意して描け：f(x)の増減，グラフの凹凸，x→+0，x→∞のときのf(x)の挙動．
(2)nを自然数とする．k=1,2,・・・,nに対してxがe^{\frac{k-1}{n}}≦x≦e^{k/n}を動くときのf(x)の最大値をMk，最小値をmkとし，
An=Σ_{k=1}nMk(e^{k/n}-e^{\frac{k-1}{n}})
Bn=Σ_{k=1}nmk(e^{k/n}-e^{\frac{k-1}{n}・・・