「増減」について

　私立 愛知工業大学 2011年 第2問

f(x)=x(1-logx)(x＞0)とする．ただし，logxはxの自然対数である．
(1)xy平面において，y=f(x)の増減，凹凸を調べ，グラフの概形をかけ．ただし，\lim_{x→+0}xlogx=0である．
(2)xy平面において，曲線y=f(x)がx軸の正の部分と交わる点における曲線の接線をℓとする．直線ℓ，直線x=1および曲線y=f(x)で囲まれた部分の面積を求めよ．

　私立 聖マリアンナ医科大学 2011年 第4問

関数f(x)=2log\frac{2+\sqrt{4-x2}}{x}-\sqrt{4-x2}を考える．ただし，対数は自然対数である．以下の問いに答えなさい．
(1)関数f(x)の定義域は0＜x≦aである．aの値を求めなさい．
(2)曲線y=f(x)の概形をかきなさい．なお，yの増減およびグラフの凹凸を調べた過程も記載しなさい．
(3)0＜x0＜aとし，上問(2)の曲線y=f(x)をCとする．C上の点P(x0,y0)におけるCの接線とy軸との交点をQとする．線分PQの長さを求めなさい．ただし，aは上問・・・

　公立 首都大学東京 2011年 第1問

f(x)=logx-2x+1(x＞0)とする．aを正の定数とし，tは0＜t＜aをみたす実数とする．関数y=f(x)のグラフ上に3点Q，A，Pを，それぞれのx座標がa-t,a,a+tとなるようにとる．以下の問いに答えなさい．
(1)f(x)の増減を調べ，y=f(x)のグラフをかきなさい．
(2)点RがベクトルAP+ベクトルAQ=ベクトルARを満たすとき，ベクトルARを求めなさい．
(3)四角形APRQの面積S(t)を求めなさい．
(4)\lim_{t→-0}\frac{S(t)}{t3}を求めなさい・・・

　公立 首都大学東京 2011年 第1問

aを実数とする．関数f(x)=sinx+acos2x-1/4について，以下の問いに答えなさい．
(1)a=1とするとき，0≦x≦2πにおけるf(x)の増減と極値を調べて，y=f(x)のグラフをかきなさい．
(2)f(x)の極値をあたえるxが0＜x＜πの範囲に1個だけ存在するためのaについての必要十分条件を求めなさい．

　公立 高知工科大学 2011年 第4問

次の各問に答えよ．
(1)x＞0のとき，不等式ex＞1+x+\frac{x2}{2}が成り立つことを証明せよ．
(2)\lim_{x→∞}xe^{-x}=0を証明せよ．
(3)関数y=xe^{-x}の増減・凹凸を調べ，そのグラフを描け．
(4)nを自然数とする．In=∫0nxe^{-x}dxを計算し，\lim_{n→∞}Inを求めよ．

　公立 広島市立大学 2011年 第4問

関数f(x)=(x-2)e^{-x/3}について，以下の問いに答えよ．
(1)f(x)の増減，極値，凹凸，変曲点を調べ，y=f(x)のグラフの概形を描け．必要であれば\lim_{x→∞}xe^{-x}=0を用いてよい．
(2)次の連立不等式の表す領域の面積を求めよ．
x≧0,y≦0,y≧f(x)

　公立 大阪府立大学 2011年 第5問

2つの関数f(t)=tlogtとg(t)=t3-9t2+24tが与えられているとき，以下の問いに答えよ．
(1)f(t)はt≧1の範囲で単調に増加することを示せ．
(2)t≧1のとき
{
\begin{array}{l}
x=f(t)\\
y=g(t)
\end{array}
.
と媒介変数表示される関数y=h(x)のx≧0の範囲における増減を調べて，極大値と極小値を求めよ．
(3)xy平面上で，曲線y=h(x)，2直線x=f(2),x=f(4)とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ．

　公立 会津大学 2011年 第5問

関数y=\frac{logx}{x2}のグラフをCとするとき，次の問いに答えよ．
(1)関数y=\frac{logx}{x2}の増減，極値，Cの凹凸，変曲点を調べて，増減表をつくり，Cを座標平面上に描け．ただし，\lim_{x→∞}\frac{logx}{x2}=0を用いてもよい．
(2)aを定数とする．方程式logx=ax2の異なる実数解の個数を調べよ．

　公立 兵庫県立大学 2011年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)sin(πsinx)の導関数を求めよ．
(2)y=sin(πsinx)(0≦x≦2π)の増減，極値を調べ，グラフの概形をかけ．凹凸は調べる必要はない．

　公立 岐阜薬科大学 2011年 第6問

関数f(x)=\frac{(logx)n}{x}について，次の問いに答えよ．ただし，nは自然数とする．
(1)関数f(x)の増減，極値を調べよ．
(2)n=3のとき，関数f(x)の曲線の凹凸を調べ，そのグラフをかけ．