「増減」について

　国立 茨城大学 2010年 第4問

曲線C:y=(x-3)√x(x＞0)の法線を考える．ただし，曲線C上の点Pにおける法線とは，点Pを通り，この曲線上の点Pにおける接線に垂直に交わる直線のことである．このとき，以下の各問に答えよ．
(1)関数y=(x-3)√x(x＞0)の増減，極値を調べて，そのグラフをかけ．
(2)曲線C上の点(t,(t-3)√t)における法線の方程式を求めよ．
(3)aを正の定数とするとき，点(a,0)を通る法線の本数を調べよ．

　国立 山梨大学 2010年 第3問

2つの関数f(x)=x3-6x2+9x,g(x)=x3-3x2+3x-1について，次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)およびg(x)の増減を調べ，曲線y=f(x)およびy=g(x)を図示せよ．
(2)2つの曲線y=f(x),y=g(x)で囲まれた図形の面積を求めよ．
(3)(2)で面積を求めた図形と直線y=4x+kが共有点を持つとき，kの最小値を求めよ．

　国立 愛媛大学 2010年 第8問

nを自然数とし，f(x)=x2e^{-2/3x3}とする．
(1)関数y=f(x)の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)定積分∫1nf(x)dxを求めよ．
(3)不等式Σ_{k=1}nf(k)＜3/2e^{-2/3}を証明せよ．

　国立 鹿児島大学 2010年 第4問

aを0以上の実数とし，x＞-1で定義された関数
f(x)=2x2+(1-a2)log(x+1)
について，次の各問いに答えよ．
(1)方程式f´(x)=0がx＞-1で異なる2つの実数解をもつような定数aの値の範囲を求めよ．
(2)aが(1)で求めた範囲にあるとき，関数f(x)の増減を調べ，極値を求めよ．
(3)aが(1)で求めた範囲にあるとき，関数f(x)の極小値は\frac{1-2log2}{2}より大きいことを証明せよ．

　国立 鹿児島大学 2010年 第4問

aを正の定数とし，関数
f(x)=(x-a)e^{-x}
について，次の各問いに答えよ．ただしeは自然対数の底である．
(1)関数f(x)の導関数f´(x)を求めよ．
(2)関数f(x)の第2次導関数f^{\prime\prime}(x)を求めよ．
(3)関数f(x)の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(4)nを正の整数とする．曲線y=f(x)とx軸および直線x=a+nとで囲まれた部分の面積Snをnとaで表せ．また，\lim_{n→∞}Snを求めよ．

　国立 宮城教育大学 2010年 第4問

関数f(x)=\frac{x+2}{x2+4a}を考える．ただし，aは1≦a＜2をみたす定数とする．導関数f´(x)に対して，f´(x)=0となるxのうち正のものをβとする．次の問いに答えよ．
(1)x≧0におけるf(x)の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)f(x)=f(a)をみたすxを求めよ．
(3)a-1＜\frac{2a}{2+a}およびβ＜aを示せ．
(4)a-1≦x≦aにおいて，f(x)の最小値が4/9であるとき，f(x)の最大値を求めよ．

　国立 福岡教育大学 2010年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)円x2+y2=1と放物線y=x2+5との共通の接線のうち，円と第1象限で接する接線の方程式を求めよ．
(2)n≧2であるような自然数nに対して
1・2・3+2・3・4+・・・+(n-1)・n・(n+1)=(1+2+3+・・・+n)(2+3+・・・+n)
が成り立つことを示せ．
(3)関数f(x)=\frac{cosx}{\sqrt{1+cos2x}}(-π/2≦x≦3/2π)の増減を調べ，最大値と最小値を求めよ．

　国立 東京海洋大学 2010年 第5問

次の問いに答えよ．
(1)x＞0で定義された関数f(x)=\frac{(logx)2}{x}の増減を調べ，極値を求めよ．
(2)曲線y=f(x)と曲線y=1/xで囲まれた図形の面積を求めよ．

　私立 龍谷大学 2010年 第3問

x＞0の範囲で，関数
f(x)=\frac{3}{x2}-4/x+1
を考える．
(1)曲線y=f(x)とx軸との交点の座標を求めなさい．
(2)f(x)の増減を調べなさい．
(3)曲線y=f(x)とx軸で囲まれた図形の面積を求めなさい．

　公立 広島市立大学 2010年 第3問

関数f(x)=\frac{sinx}{\sqrt{5+4cosx}}(0≦x≦2π)について，次の問いに答えよ．
(1)導関数f^{\prime}(x)を求め，f(x)の増減を調べよ．また，f(x)の最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線y=f(x)とx軸で囲まれた2つの部分の面積の和を求めよ．