「増減」について

　国立 三重大学 2014年 第4問

関数f(x)=sin(3/2x)+3/4xとg(x)=3/4xについて，以下の問いに答えよ．ただし，0≦x≦πとする．
(1)f(x)の増減，凹凸を調べ，極値を求めよ．また，y=f(x)のグラフをかけ．
(2)y=f(x)とy=g(x)のグラフの共有点を求めよ．
(3)y=f(x)とy=g(x)のグラフで囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 富山大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)x＞0のとき，不等式logx＞-\frac{1}{√x}が成り立つことを示せ．
(2)f(x)=x2logx(x＞0)とおく．\lim_{x→+0}f(x)=0を示せ．
(3)f(x)の増減および凹凸を調べ，y=f(x)のグラフの概形をかけ．
(4)I(t)=∫t2f(x)dx(t＞0)とおく．このとき，\lim_{t→+0}I(t)を求めよ．

　国立 富山大学 2014年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)x＞0のとき，不等式logx＞-\frac{1}{√x}が成り立つことを示せ．
(2)f(x)=x2logx(x＞0)とおく．\lim_{x→+0}f(x)=0を示せ．
(3)f(x)の増減および凹凸を調べ，y=f(x)のグラフの概形をかけ．
(4)I(t)=∫t2f(x)dx(t＞0)とおく．このとき，\lim_{t→+0}I(t)を求めよ．

　国立 山梨大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)=e^{1+sin2x}の導関数f´(x)を求めよ．
(2)条件a1=1，a2=2，a_{n+2}=3a_{n+1}-2an(n=1,2,3,・・・)で定められる数列{an}の一般項を求めよ．
(3)関数f(x)=\frac{4x}{x2+1}の増減，極値，グラフの凹凸，変曲点および漸近線を調べ，曲線y=f(x)の概形をかけ．

　国立 山梨大学 2014年 第5問

曲線Cは媒介変数t(0≦t≦2π)によって，x=t-sint，y=1-costと表される．
(1)xはtの関数として増加関数であることを示せ．
(2)0＜t＜2πのとき，dy/dxをtを用いた式で表せ．また，yのxに関する増減を調べよ．
(3)不定積分∫cos2tdtおよび∫cos3tdtを求めよ．
(4)曲線Cとx軸で囲まれた図形をx軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を求めよ．

　国立 山形大学 2014年 第1問

-a＜x＜aで定義された曲線C:y=x\sqrt{a2-x2}がある．ただしaは正の定数とする．以下の問いに答えよ．
(1)yの増減を調べ，曲線Cの概形をかけ．
(2)曲線Cと直線L:y=\frac{1}{√3}xが3つの共有点を持つような定数aの値の範囲を求めよ．またそのときの共有点のx座標をすべて求めよ．
(3)3つの共有点のうち，x座標の値が最も大きい点をPとする．点Pにおける曲線Cの接線と，直線Lおよびy軸で囲まれる三角形が正三角形になるときの定数aの値を求め，その・・・

　国立 宮城教育大学 2014年 第4問

関数f(x)=e^{√2sinx}を考える．次の問いに答えよ．
(1)0≦x≦2πにおいて，関数f(x)の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，グラフの概形をかけ．
(2)aを実数とする．関数f(x)の導関数をf´(x)とするとき，xの方程式f´(x)=aの0≦x≦2πにおける実数解の個数を求めよ．

　国立 茨城大学 2014年 第1問

区間0＜x＜πで関数y=f(x)=cos(√2x)を考え，そのグラフをCとする．C上の点P(θ,cos(√2θ))におけるCの法線をℓ，ℓとx軸との交点をQ，点Pと点Qの距離をg(θ)とする．ただし，点PにおけるCの法線とは，点Pを通りかつPでのCの接線に直交する直線のことである．以下の各問に答えよ．
(1)f(x)の増減の様子を調べ，Cの概形をかけ．さらに，f(x)の最小値を与えるxの値，およびCとx軸との交点のx・・・

　国立 お茶の水女子大学 2014年 第3問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=\frac{logx}{x}(x＞0)の増減を調べ，そのグラフの概形を描け．ただし，\lim_{x→∞}\frac{logx}{x}=0は証明なく用いて良い．
(2)異なる自然数m,nの組で
mn=nm
を満たすものをすべて求めよ．
(3)曲線y=\frac{logx}{x}と直線y=\frac{log2}{2}で囲まれた図形の面積を求めよ．

　国立 長崎大学 2014年 第3問

曲線C:y=logx上の点P(t,logt)における接線をℓとする．ただし，1＜t＜eとする．eは自然対数の底である．次の問いに答えよ．
(1)接線ℓの方程式を求めよ．
(2)接線ℓとy軸との交点をQとし，接線ℓとx軸との交点をRとする．QとRの座標を求めよ．
(3)接線ℓとx軸およびy軸によって囲まれた図形をD1，接線ℓと曲線Cおよびx軸によって囲まれた図形をD2とする．D1の面積S1(t)とD2の面積S2(t)を求めよ．
(4)S(t)・・・