「増減」について

　国立 富山大学 2013年 第1問

3次関数f(x)は，次の2つの条件を満たすとする．
(i)関数f(x)は，x=1とx=2で極値をもつ
(ii)整式f(x)をx2-3x+1で割った余りは-x+2である．
このとき，次の問いに答えよ．
(1)f(x)を求めよ．
(2)方程式f(x)=0を解け．
(3)関数f(x)の増減を調べ，そのグラフをかけ．

　国立 山梨大学 2013年 第3問

曲線Cは媒介変数t(0≦t≦π/2)によって，x=\sqrt{cost}cost/2，y=\sqrt{cost}sint/2と表される．
(1)0＜t＜π/2において，dx/dtおよびdy/dtを求めよ．
(2)x,yのtに関する増減を調べ，曲線Cの概形をかけ．
(3)曲線Cとx軸で囲まれた図形の面積Sを求めよ．

　国立 山梨大学 2013年 第4問

関数f(x)を次のとおりに定める．
f(x)={\begin{array}{ll}
e^{-\frac{1}{1-x2}}&(|x|＜1　のとき　)\
0&(|x|≧1　のとき　)
\end{array}.
(1)\lim_{x→1-0}f(x)，\lim_{x→-1+0}f(x)を求めよ．
(2)K=∫_{-1}1f(t)dt，F(x)=1/K∫_{-1}xf(t)dtとする．このとき，F(0)を求めよ．
(3)関数y=F(x)の増減を調べ，グラフの概形をかけ．
(4)関数y=F(x)-F(0)が奇・・・

　国立 宮城教育大学 2013年 第2問

関数f(x)=x3-3axについて次の問いに答えよ．ただし，aは正の定数である．
(1)関数y=f(x)の増減，極値を調べ，そのグラフの概形をかけ．
(2)定数kが0＜k≦√aの範囲にあるとき，-k≦x≦2kにおけるf(x)の最大値と最小値を求めよ．

　国立 宮城教育大学 2013年 第4問

x＞0のとき，以下の問いに答えよ．
(1)不等式2√x＞logxを示せ．
(2)関数y=\frac{1-logx}{x2}の増減，極値，グラフの凹凸および変曲点を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，必要があれば，(1)の結果を用いてよい．

　国立 秋田大学 2013年 第3問

関数f(x)=sinx+1/2sin2x(0≦x≦2π)について，次の問いに答えよ．
(1)f(x)の増減を調べ，最大値と最小値を求めよ．
(2)曲線y=f(x)とx軸で囲まれた図形を，x軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めよ．

　国立 旭川医科大学 2013年 第4問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=xlogx-x(x＞0)の増減を調べ，そのグラフをかけ．
(2)aを正の実数とする．曲線C:y=log(x+1)上の点(t,log(t+1))における接線ℓtが，曲線Ca:y=alogx上の点(s,alogs)における接線にもなっているとき，tとsの関係をaを含まない式で表せ．
(3)任意に与えられたt＞-1に対して，直線ℓtが曲線Caの接線にもなっているようなaが唯一つ存在すること，およびa＞1であることを示せ．
(4)直線ℓtが曲線Caの接線になっているとき，その・・・

　国立 宇都宮大学 2013年 第4問

関数f(x)={\begin{array}{ll}
-2x2+2x&(x≧0)\
x2+2x&(x＜0)
\end{array}.に対して，関数F(x)をF(x)=∫_{-3}xf(t)dtと定め，曲線y=F(x)をCとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)関数F(x)の増減を調べて，-3≦x≦2の範囲でy=F(x)のグラフの概形をかけ．
(2)曲線C上の2点PとQにおけるCの接線の傾きが等しいとし，P，Qのx座標をそれぞれa,bとする．aが0＜a＜1の範囲を動くとき，bのとり・・・

　国立 電気通信大学 2013年 第1問

関数f(x)=sinx+\frac{1}{2sinx}(0＜x＜π)について以下の問いに答えよ．
(1)f´(x)=0となるxの値を求めよ．
(2)f(x)の増減を調べ，極値を求めよ．さらに，y=f(x)のグラフの概形をかけ．ただし，グラフの凹凸は調べなくてよい．
(3)0＜x＜πのとき，
d/dx{log(1-cosx)-log(1+cosx)}
を求めよ．
(4)定積分∫_{π/4}^{3/4π}f(x)dxを求めよ．

　国立 鳥取大学 2013年 第2問

0≦x≦2πで定義された関数f(x)=\frac{cosx}{√2+sinx}について，次の問いに答えよ．
(1)関数f(x)の増減を調べ，最大値，最小値を求めよ．
(2)定積分∫0^{π/2}f(x)dxを求めよ．