「変換」について

　国立 埼玉大学 2015年 第4問

nは2以上の自然数とし，
f(θ)=\frac{cos^{n-1}θsin^{n-1}θ}{cos^{2n}θ+sin^{2n}θ}
とする．次の問いに答えよ．
(1)t=tannθと変数変換することにより，∫0^{π/4}f(θ)dθを求めよ．
(2)0≦θ≦π/2の範囲でf(θ)の最大値および最小値を求めよ．

　国立 埼玉大学 2015年 第4問

関数f(θ)=\frac{cosθsinθ}{cos4θ+sin4θ}について，次の問いに答えよ．
(1)t=tan2θと変数変換することにより，∫0^{π/4}f(θ)dθを求めよ．
(2)f(θ)の最大値および最小値を求めよ．

　私立 上智大学 2015年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)(i)a＞0，a≠1，M＞0である実数a,Mに対し，aを底とするMの対数logaMの定義を述べよ．
(ii)a＞0，b＞0，c＞0，a≠1，c≠1である実数a,b,cに対し，底の変換公式
logab=\frac{logcb}{logca}
が成り立つことを示せ．
(2)正の実数xの自然対数logxは
logx=∫1x1/tdt
と表される．これを用いて，正の実数x,yに対し
log(xy)=logx+logy
が成り立つことを示せ．
\end{e・・・

　国立 広島大学 2014年 第1問

a,bを実数，a＞0として，行列A=(\begin{array}{cc}
a&2\
-2&b
\end{array})の定める1次変換をfとする．fによって，点P(1,0)が点P1に移され，点P1が点P2に移されるものとする．Pが線分P1P2の中点であるとき，次の問いに答えよ．
(1)a,bを求めよ．
(2)ある実数cに対してcベクトルOP+ベクトルOP1=(v1,v2)とすると，
A(\begin{array}{c}
v1\
v2
\end{array})=(\begin{array}{c・・・

　国立 東京工業大学 2014年 第3問

1個のさいころを投げて，出た目が1か2であれば行列A=(\begin{array}{cc}
0&1\
-1&0
\end{array})を，出た目が3か4であれば行列B=(\begin{array}{cc}
0&-1\
1&0
\end{array})を，出た目が5か6であれば行列C=(\begin{array}{cc}
-1&0\
0&1
\end{array})を選ぶ．そして，選んだ行列の表す1次変換によってxy平面上の点Rを移すという操作を行う．点Rは最初は点(0,1)にあるものとし，さいころを投げて点Rを移す操作をn回続・・・

　国立 岡山大学 2014年 第3問

座標平面において，行列A=(\begin{array}{cc}
1&0\
2&3
\end{array})の表す一次変換をfとする．
(1)0≦θ＜2πのとき，点P(2+cosθ,sinθ)をfで移した点Qの座標を求めよ．
(2)不等式a1≦x≦a2，b1≦y≦b2の表す領域をTとする．0≦θ＜2πを満たすすべてのθに対して，(1)で求めた点Qが領域Tに入るとする．Tの面積が最小となるときのa1,a2,b1,b2を求めよ．
(3)不等式・・・

　国立 東北大学 2014年 第4問

不等式1≦x2+y2≦4が表すxy平面内の領域をDとする．Pを円x2+y2=1上の点，QとRを円x2+y2=4上の異なる2点とし，三角形PQRは領域Dに含まれているとする．a,bを実数とし，行列A=(\begin{array}{cc}
a&-b\
b&a
\end{array})の表す1次変換によりPはP´，QはQ´，RはR´に移されるとする．このとき，三角形P´Q´R´が領域Dに含まれるためのa,・・・

　国立 岩手大学 2014年 第1問

次の問いに答えよ．
(1)関数y=-2sin2x+2cos2x+3の最大値と最小値を求めよ．ただし，0≦x≦π/2とする．
(2)\lim_{x→1}\frac{a\sqrt{x+3}-8}{x-1}が有限な値になるように定数aの値を定め，そのときの極限値を求めよ．
(3)直線y=xに関する対称移動の1次変換をfとする．1次変換gが点(2,4)を点(4,6)に移し，合成変換f\circgが点(2,2)を点(-12,4)に移すとき，gを表す行列を求めよ．
(4)次の不定積分を求めよ．
\i・・・

　国立 九州工業大学 2014年 第2問

座標平面において，行列A=(\begin{array}{cc}
1/2&2/3\
1/4&2/3
\end{array})が表す移動（1次変換）をfとし，直線x+2y=1をℓとする．次に答えよ．
(1)点P(p1,p2)がfによって移る点をQ(q1,q2)とする．Pがℓ上の点のとき，Qはℓ上にあることを示せ．
(2)ℓ上の点RはfによってR自身に移る．
\mon[\to・・・

　国立 徳島大学 2014年 第4問

x0=1，y0=0とする．nが自然数のとき，座標平面上の点P_{n-1}(x_{n-1},y_{n-1})は行列(\begin{array}{cc}
1/2&-2/3\
2/3&1/2
\end{array})の表す1次変換によって点Pn(xn,yn)に移されるとする．点P_{n-1}と点Pnの距離をlnとする．
（プレビューでは図は省略します）
(1)l1を求めよ．
(2)lnをx_{n-1},y_{n-1}の式で表せ．
(3)\frac{l・・・