「変換」について

　私立 福岡大学 2011年 第2問

次の[]をうめよ．
(1)△ABCにおいて，辺ABを2:1に内分する点をM，辺ACを3:2に内分する点をN，線分BNとCMの交点をPとする．ベクトルAB=ベクトルb，ベクトルAC=ベクトルcとするとき，ベクトルベクトルAPをベクトルb，ベクトルcを用いて表すと，ベクトルAP=[]となる．さらに，AB=9，AC=6，AP=4のとき，ベクトルbとベクトルcの内積ベクトルb・ベクトルcの値は[]である・・・

　私立 聖マリアンナ医科大学 2011年 第1問

a,b,cを正の実数とし，行列P=(\begin{array}{cc}
2&a\
b&c
\end{array})とする．以下の[1]から[9]に答えなさい．
(1)P2=(\begin{array}{cc}
10&9\
6&7
\end{array})であるならば，a=[1]，b=[2]，c=[3]であり，このとき，P^{-1}=[4]である．
(2)行列A=(\begin{array}{cc}
3&3\
-1&7
\end{array})とする．上問(1)で求めたa,b,cの値を用いると，P^{-1}・・・

　私立 早稲田大学 2011年 第6問

A=(\begin{array}{cc}
1&2\
3&6
\end{array})とする．点(x,y)がxy平面上を動くとき，行列Aによる変換(\begin{array}{c}
X\
Y
\end{array})=A(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})で移される点(X,Y)はXY平面上の直線ℓ:Y=[ト]X上を動く．
次に，行列G=(\begin{array}{cc}
a&b\
b&a
\end{array})がAGA=Aを満たすとする．点(X,Y)がℓ上を動くとき，その各点で列ベクトルG(\begin{arr・・・

　私立 玉川大学 2011年 第4問

定積分I=∫ab(x-a)(x-b)(x-c)dxについて答えよ．ただし，m=\frac{a+b}{2}，h=\frac{b-a}{2}，a≠bとする．
(1)(x-a)(x-b)(x-c)をc,m,h,tのみで表せ．ここで，tはt=x-mである．
(2)定積分Iをt=x-mと変数変換して求めよ．
(3)I=0のとき，a,b,cにどのような関係があるか求めよ．

　公立 大阪府立大学 2011年 第4問

kを正の定数とする．直線y=kxをℓとし，原点Oを通り直線ℓに垂直な直線をmとする．2次正方行列Aで表される1次変換をfとする．fにより，直線ℓ上の点は自分自身に移り，直線m上の点は原点に移るとする．
(1)行列Aを求めよ．
(2)Pを座標平面上の点とする．点Pのfによる像をQとする．
\mon[(i)]点Qは直線ℓ上の点であることを示せ．
\mon[(ii)]点Pが直線ℓ上の点でないとき，直線PQと直線ℓは垂直であることを示せ．
\mon[(iii)]3点(0,0)，(1,0)，・・・

　公立 会津大学 2011年 第2問

点P(2,1)を点P自身に移し，点Q(1,2)を点Q1(2,4)に移す1次変換fを表す行列をAとする．以下の問いに答えよ．ただし，nを自然数とする．
(1)Aを求めよ．
(2)fにより点Rが点(4,5)に移されるとき，点Rの座標を求めよ．
(3)Anで表される1次変換により点Qが移される点をQnとする．点Qnの座標を求めよ．
(4)Anを求めよ．

　公立 福岡女子大学 2011年 第4問

座標平面上で原点Oを中心に一定の角θで回転移動する1次変換をfとし，一定の正の数rで各点(x,y)を点(rx,ry)に移す相似変換をgとする．また，gとfの合成変換g\circfを表す行列をK(r,θ)とする．原点Oと異なる座標平面上の点P(a,b)に対して，点Q(c,d)を次で定める：
(\begin{array}{c}
c\
d
\end{array})=K(r,θ)(\begin{array}{c}
a\
b
\end{array})
次の問に答えなさい．
(1)K(r,θ)を・・・

　公立 岐阜薬科大学 2011年 第4問

A=(\begin{array}{cc}
a&1\
1&a
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
1&a\
a&1
\end{array})についてC=ABと定め，行列Cの表す1次変換（移動）をfとする．ただし，B≠E（単位行列），aは実数とする．
(1)行列の積C=ABを計算せよ．
(2)1次変換fによって，点(0,1)を通る直線ℓ上のすべての点がすべてその直線ℓ上に移るとき，aの値と直線ℓの方程式を求めよ．

　公立 奈良県立医科大学 2011年 第4問

xy平面において原点O(0,0)を中心とする半径1の円をSとし，円Sの任意の点Pに対して，点Pにおける円Sの接線をL(P)とおく．
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})
を全ての成分が実数からなる2行2列の行列とし，Aによって定まるxy平面の一次変換
(\begin{array}{c}
x´\
y´
\end{array})=A(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})
を\varphiとおく．このとき，円Sの任意の点Pに対して円・・・

　国立 埼玉大学 2010年 第1問

行列A=(
\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}
)の表す1次変換fは，点(1,1)を点(2,3)に，点(2,-1)を点(2k,-k-1)に移すとする．また，原点をOとし，点(1,0)，(0,1)をfで移した点をそれぞれP，Qとする．
(1)Aの成分a,b,c,dをkを用いて表せ．
(2)∠POQが直角となるkを求めよ．
(3)　OP　=　OQ　となるkを求めよ．