「変換」について

　国立 埼玉大学 2010年 第1問

行列A=(
\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array}
)の表す1次変換fは，点(1,1)を点(2,3)に，点(2,-1)を点(2k,-k-1)に移すとする．また，原点をOとし，点(1,0)，(0,1)をfで移した点をそれぞれP，Qとする．
(1)Aの成分a,b,c,dをkを用いて表せ．
(2)∠POQが直角となるkを求めよ．
(3)　OP　=　OQ　となるkを求めよ．

　国立 広島大学 2010年 第1問

行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array})の表す1次変換fによって，点P1(1,0)が点P2(0,3)に移され，点P2が点P3に，点P3が点P1(1,0)にそれぞれ移されるとする．次の問いに答えよ．ただし，a,b,c,dは実数である．
(1)行列Aを求めよ．
(2)自然数nに対してAnを求めよ．
(3)O(0,0)とする．点P(cosθ,sinθ)がfによって点Qに移されるとする．0≦θ≦2πのとき，ベクトルベクトルOPとベクトルOQの内積\vect・・・

　国立 信州大学 2010年 第2問

行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\\
c&d
\end{array})は零行列ではなく，A2が零行列となるとする．次の問に答えよ．
(1)a+d=ad-bc=0を示せ．
(2)行列Aが表す一次変換によって，座標平面上の原点と任意の点P，Qは同一直線上に移ることを示せ．

　国立 山口大学 2010年 第3問

A,A´をそれぞれ座標平面上の点(αcosθ,αsinθ)，(-αcosθ,-αsinθ)とし，fを行列
\biggl(\begin{array}{cc}
rcosθ&-rsinθ\\
rsinθ&rcosθ
\end{array}\biggr)
の表す1次変換とする．α=(45/4)^{1/6},r=(10/3)^{1/6},θ=π/6とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)2点A，A^{\prime}の逆変換f^{-1・・・

　国立 佐賀大学 2010年 第2問

座標平面上で，直線ℓ:y=mxに関する対称移動によって，点P(x,y)が点Q(x´,y´)に移ったとする．ただし，mは0でない定数とし，点Pはℓ上にないとする．このとき，次の問いに答えよ．
(1)線分PQの中点がℓ上にあることと，線分PQがℓと垂直に交わっていることを利用して
(\begin{array}{c}
x´\\
y´
\end{array})=\frac{1}{1+m2}(\begin{array}{cc}
1-m2&2m\\
2m&m2-1
\end{array})(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}\・・・

　国立 九州工業大学 2010年 第1問

行列
A=(\begin{array}{cc}
a-b&a\\
2a&a+b
\end{array})
の定める移動(1次変換)
(\begin{array}{c}
x´\\
y´
\end{array})=A(\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array})
をfとし，原点を通る2直線をℓ1:y=m1x,ℓ2:y=m2xとする(m1＜m2)．次に答えよ．
(1)fにより，直線ℓ1上の点(1,m1)はℓ1上の点に移り，直線ℓ2上の点(1,m2)はℓ2上の点に移るとする．m1,m2をa,bを用いて表せ．ただし・・・

　国立 福井大学 2010年 第4問

pを0でない実数とし，行列A,Bをそれぞれ次のように定める．このとき，以下の問いに答えよ．
A=\biggl(\begin{array}{cc}
p-1/p&1\\
2&-p
\end{array}\biggr),B=\biggl(\begin{array}{cc}
1&0\\
1/p&-1
\end{array}\biggr)
(1)等式A^{-1}=aA+bEが成り立つ定数a,bをpで表せ．ただし，Eは2次の単位行列である．
(2)AB=Cとおく．E+Cの逆行列が存在することを示し，さらに自然数mに対して等式
E-C+C2-C3+・・・-C^{2m-1}=(E-C^{2m})(E+C)^{-1}
が・・・

　国立 鹿児島大学 2010年 第5問

2次の正方行列A,Bについて，次の各問いに答えよ．
(1)行列A=(\begin{array}{cc}
4/5&b\
c&d
\end{array})は原点のまわりの回転移動を表し，b＞0である．行列Aを求めよ．
(2)行列Bの表す移動（1次変換）に続いて行列Aの表す移動を行うことで得られる合成移動（合成変換）はy軸に関する対称移動になる．行列Bを求めよ．
(3)B(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})=(\begin{array}{c}
x\
y
\end{array})を満たす点(x,\・・・

　私立 獨協医科大学 2010年 第5問

座標平面上の点の移動について考える．
(1)直線y=axに関する対称移動の1次変換gを表す行列は
\frac{1}{[]+a2}(\begin{array}{cc}
[*]-a2\phantom{1/2}&[**]a\
[**]a\phantom{1/2}&-([*]-a2)
\end{array})
である．
(2)x軸に関する対称移動の1次変換hを表す行列は(\begin{array}{cc}
[]&0\
0&[]
\end{array})である．
(3)原点のまわりに角\・・・

　私立 日本女子大学 2010年 第1問

行列Pで表される1次変換によって平面上の点(-2,1)と点(1,1)が，それぞれ点(-1,3)，点(2,6)に移る．
(1)Pを求めよ．
(2)実数a,b,c,dに対して行列
A=(\begin{array}{rr}
a&b\
-5&8
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
c&0\
0&d
\end{array})
が
AP=PB
を満たしているとする．このとき，a,b,c,dの値を求めよ．
(3)Pが逆行列P^{-1}をもつことを示し，(PBP^{-1})2を求めよ．
(4)自然数nに対してAnを求・・・