「変換」について

　国立 山梨大学 2014年 第2問

実数を成分とする2次正方行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})が，実数kに対し，A2-kA=(k-3)Eを満たすとする．ただし，Eは2次の単位行列である．
(1)b≠0またはc≠0のとき，a+dおよびad-bcをkを用いた式で表せ．
(2)実数kがA(\begin{array}{c}
1\
k
\end{array})=(\begin{array}{c}
1\
k
\end{array})を満たすとき，kの値を求めよ．
(3)kを定数として，bcが最大となるようなa,dとそのときのbcを・・・

　国立 山形大学 2014年 第4問

座標平面上の1次変換fは点(1,2)を点(1/2-√3,1+\frac{√3}{2})に，点(3,4)を点(3/2-2√3,2+\frac{3√3}{2})に移すとする．Oを原点として，次の問に答えよ．
(1)1次変換fを表す行列Aを求めよ．
(2)点P(1,0)がfにより点Qに移るとき，∠POQを求めよ．また線分OQの長さを求めよ．
(3)点Rを(2cosθ,2sinθ)で定める\・・・

　国立 徳島大学 2014年 第1問

A=(\begin{array}{cc}
3/4&1/2\
1/4&1/2
\end{array})とし，行列Aで表される1次変換をfとする．fによって点P(0,1)が点P1(x1,y1)に移されるとする．さらに，n=1,2,3,・・・に対して，点Pn(xn,yn)がfによって点P_{n+1}(x_{n+1},y_{n+1})に移されるとする．
(1)すべての自然数nについて，点Pnは直線x+y=1上にあることを証明せよ・・・

　国立 室蘭工業大学 2014年 第5問

行列A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array})の表す1次変換fは，原点(0,0)以外のある点を原点に移す．
(1)ad-bcの値を求めよ．
(2)a+d=1のとき，A^{2014}-Aを求めよ．

　国立 鳥取大学 2014年 第2問

実数a,b,θに対して，行列A,Rを以下のように定める．
A=(\begin{array}{cc}
a&-b\
b&a
\end{array}),R=(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})
またxy平面内の相異なる2点P0(px,py)およびQ0(qx,qy)を考える．0以上の整数nに対し，行列Anの表す1次変換による点P0，Q0の像をそれぞれPn，Qnとし，2点Pn，Qn間の距離をDn・・・

　国立 鳥取大学 2014年 第2問

実数a,b,θに対して，行列A,Rを以下のように定める．
A=(\begin{array}{cc}
a&-b\
b&a
\end{array}),R=(\begin{array}{cc}
cosθ&-sinθ\
sinθ&cosθ
\end{array})
またxy平面内の相異なる2点P0(px,py)およびQ0(qx,qy)を考える．0以上の整数nに対し，行列Anの表す1次変換による点P0，Q0の像をそれぞれPn，Qnとし，2点Pn，Qn間の距離をDn・・・

　国立 東京農工大学 2014年 第2問

a,bを実数とする．行列A=(\begin{array}{cc}
4&3\
a&b
\end{array})，B=(\begin{array}{cc}
a&b\
b&-a
\end{array})が
AB=(\begin{array}{cc}
10&5\
5&0
\end{array})
を満たしている．次の問いに答えよ．
(1)a,bの値を求めよ．ただし答えのみでよい．
(2)m,nは実数で，m≠0，n≠0とする．座標平面上の2点S1(m,0)，S2(0,n)をとり，行列Aが表す1次変換によってS1，S2が移る点を・・・

　私立 産業医科大学 2014年 第2問

行列A=1/3(\begin{array}{cc}
2&1\
1&2
\end{array})について，次の問いに答えなさい．
(1)自然数nについて，(\begin{array}{c}
pn\
qn
\end{array})=An(\begin{array}{c}
√2\
√3
\end{array})とするとき，極限\lim_{n→∞}(pnqn)を求めなさい．
(2)行列Aで表される1次変換によってそれ自身へ移される直線をすべて求めなさい．

　私立 南山大学 2014年 第1問

[]の中に答を入れよ．
(1)行列A=(\begin{array}{cc}
a&2b\
-b&a
\end{array})の表す1次変換によって，点(3,1)が点(7,-5)に移され，点(p,q)が点(4,1)に移される．aとbの値を求めると(a,b)=[ア]であり，pとqの値を求めると(p,q)=[イ]である．
(2)3辺の長さがそれぞれ1,x,2-x(1/2＜x＜3/2)の三角形がある．この三角形の面積Sをxで表すとS=[ウ]であり，S・・・

　私立 青山学院大学 2014年 第5問

行列A,E,Oを
A=(\begin{array}{cc}
a&b\
c&d
\end{array}),E=(\begin{array}{cc}
1&0\
0&1
\end{array}),O=(\begin{array}{cc}
0&0\
0&0
\end{array})
で定め，行列Aの表す1次変換をfとする．また，行列A-Eの逆行列が存在しないとする．このとき，以下の問に答えよ．
(1)等式A2-(a+d)A+(a+d-1)E=Oが成り立つことを示せ．
(2)点Pを平面上の任意の点とする．1次変換fによる点Pの像をQ・・・