「変換」について

　国立 東京農工大学 2013年 第1問

aを実数とする．行列
A=(\begin{array}{cc}
a&3\
-2&-1
\end{array}),P=(\begin{array}{cc}
1&3\
-1&-2
\end{array})
について，次の問いに答えよ．
(1)P^{-1}APの(1,2)成分と(2,1)成分が等しくなるようなaの値を求めよ．
(2)aを(1)で求めた値とするとき，自然数nに対してAnを求めよ．
(3)aを(1)で求めた値とするとき，Anが表す1次変換によって，xy平面上の2点Q(1,-1)とR(0,2)とが移る2点を通る直線を・・・

　国立 琉球大学 2013年 第4問

mを正の定数とする．次の問いに答えよ．
(1)xy平面上に2点O(0,0)，P(1,m)がある．このとき2点Q，Rの座標を，△OPQ，△OPRがともに正三角形となるように定めよ．ただし，点Qはxy平面上のy＞mxとなる領域に，点Rはxy平面上のy＜mxとなる領域に定めよ．
(2)(1)で定めた3点P，Q，Rについて，一次変換fは点Pを同じ点Pに，点Qを点Rに移すものとする．この・・・

　国立 群馬大学 2013年 第7問

自然数nについて，0以上n以下の整数x,yを座標にもつ点(x,y)全体の集合をXnとする．行列(\begin{array}{cc}
1&1\
2&-1
\end{array})の表す一次変換によるXnの点の像全体の集合をYnとする．
(1)点(187,110)はY_{100}に含まれるかどうか理由をつけて述べよ．
(2)X5とY5の共通部分X5∩Y5の点の個数を求めよ．

　国立 群馬大学 2013年 第14問

自然数nについて，0以上n以下の整数x,yを座標にもつ点(x,y)全体の集合をXnとする．行列(\begin{array}{cc}
1&1\
2&-1
\end{array})の表す一次変換によるXnの点の像全体の集合をYnとする．XnとYnの共通部分Xn∩Ynの点の個数をanとする．
(1)点(187,110)はY_{100}に含まれるかどうか理由をつけて述べよ．
(2)a5を求めよ．
(3)自然数mについて，a_{6m}をmを用いて表せ．

　国立 山形大学 2013年 第4問

自然数nに対し，座標平面上の点(n,1)をPnとする．また，rを正の実数とする．このとき，次の問に答えよ．
(1)1次変換fは，すべてのnに対してf(Pn)=P_{n+1}を満たすとする．fを表す行列Aを求めよ．
(2)1次変換gは，点(1,1)を点(-2r,1)に，点(-2r,1)を点(2r2-r,1)に移すとする．gを表す行列Bを求めよ．
(3)C=ABA^{-1}とする．行列Cnを推定し，それが正しいことを数学的帰納法によって示せ．
(4)行列Cnで表される1次変換による点(1,r)・・・

　国立 愛媛大学 2013年 第2問

行列(\begin{array}{cc}
5/2&-1/4\
a&b
\end{array})で表される1次変換をfとする．fは3点A(1,m)，B(0,1)，C(m,-1)に対して，次の2つの条件①,②を満たすものとする．ただし，Oは原点である．
①Aのfによる像はA自身である
②Bのfによる像をB´とすると，ベクトルBB´とベクトルOCは垂直であ・・・

　国立 愛媛大学 2013年 第4問

行列(\begin{array}{cc}
5/2&-1/4\
a&b
\end{array})で表される1次変換をfとする．fは3点A(1,m)，B(0,1)，C(m,-1)に対して，次の2つの条件①,②を満たすものとする．ただし，Oは原点である．
①Aのfによる像はA自身である
②Bのfによる像をB´とすると，ベクトルBB´とベクトルOCは垂直であ・・・

　私立 甲南大学 2013年 第3問

xy平面において，点(2,0)を点(1,√3)へ，点(1,√3)を点(-1,√3)へ移す1次変換fを表す行列をAとする．B=\frac{1}{√2}(\begin{array}{rr}
1&-1\
1&1
\end{array})とし，Bが表す1次変換をgとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)AおよびA3を求めよ．
(2)A6が表す1次変換によって点(1,0)が移る点の座標を求めよ．
(3)合成変換f\circgを表す行列をCとするとき，Cn=(\begin{array}{rr}
1&0・・・

　私立 昭和大学 2013年 第3問

次の各問に答えよ．
(1)双曲線H:\frac{x2}{16}-\frac{y2}{9}=1について，次の問に答えよ．
(i)双曲線Hの焦点の座標を求めよ．
(ii)双曲線Hについて正の傾きをもつ漸近線の方程式を求めよ．
(iii)(ii)で求めた漸近線と直交する直線がHと接するとき，その接点の座標を求めよ．
(2)不等式9a＞b,logab＞logba4+3をすべて満たす整数a,bの値を求めよ．
(3)直線x-y+2=0をℓとし，直線x+y-3=0・・・

　私立 名城大学 2013年 第3問

2次正方行列A0,Bを
A0=(\begin{array}{cc}
1&1\
1&2
\end{array}),B=(\begin{array}{cc}
1&-1\
1&0
\end{array})
とおく．2次正方行列A1,A2,・・・をA_{n+1}=BAn+A0(n=0,1,2,・・・)で定める．
(1)A=BA+A0を満たす2次正方行列Aを求めよ．
(2)B2,B3を求めよ．
(3)A_{15}の表す1次変換をfとし，点P(-2t+3,t)をfで移した点をQとする．tが実数全体を動くとき，Qの軌跡の方程・・・